人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.4《数学归纳法》（解析版）

4.4数学归纳法思维导图常见考法 考点一增项问题【例1】（2020·浙江海曙·效实中学）用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，等式左边，当时，等式左边，因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.【一隅三反】1．（2020·上海市市西中学月考）()，那么共有（）项.A．B．C．D．以上都不对【答案】B 【解析】，共有项．故选：B．2．（2020·江西期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了B．增加了C．增加了D．增加了【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式的过程中由时，，①当时，左边，，②，②①得：左边.故选：D.3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 4．（2020·浙江绍兴·高一期末）用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不等式左边为当时，不等式左边为即由到时，不等式左边应添加的项是故选：D考点二等式的证明【例2】．（2020·镇原中学高二期中（理））用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即.那么， 即当时等式也成立.由①②知，等式对任何都成立.【一隅三反】1．（2020·福建高二期中（理））用数学归纳法证明等式.【答案】证明见解析【解析】①当时，左边，右边，左边右边，原等式成立；②假设当时等式成立，即有，那么，当时，，所以当时，等式也成立，由①②知，对任意，都有.2．（2020·广西钦州·高二期末（理））用数学归纳法证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）要证明成立，只需证明成立，即证明成立，只需证明成立，即证明成立，因为显然成立，所以原不等式成立，即；（2）①当时，，等式左边，右边，等式成立；②设当时，等式成立，即， 则当时，，即成立，综上所述，．考点三不等式的证明【例3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析【解析】先证明出，，即，构造函数，当时，则，所以，函数在上单调递增，则，则，即，即，对任意的，当时，. 当时，左边，右边，左边右边；假设当时，不等式成立，即.则当时，则.这说明，当时，原不等式也成立.综上所述，对任意的，.【一隅三反】1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式，恒成立.【答案】见解析【解析】当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.2．（2020·安徽蚌山·（理））试用数学归纳法证明.【答案】证明见解析 【解析】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；（2）假设当时，原不等式成立，即，当时，∵∴．即，所以，当时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点四整除问题【例4】（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：能被133整除．【答案】见解析【解析】证明：①当时，能被133整除，所以时结论成立，．②假设当时，能被133整除，那么当时，．由归纳假设可知能被133整除，即能被133整除．所以时结论也成立综上，由①②得，能被133整除【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）求证：能被整除．【答案】证明见解析.【解析】当n=1时，能被整除，假设当,时能被整除， 则当时，，其中能被整除，所以能被整除，所以能被整除，即当时，能被整除，所以能被整除.2．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．考点五数归在数列的应用【例5】．（2020·江西高二期末（理））设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，∴，当时，，∴，∴，，猜想，； （2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．【一隅三反】1．（2019·浙江高二期中）已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.【解析】（1），当时，，解得，即有；当时，，解得，则；当时，，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为． 下面运用数学归纳法证明．①当时，由（1）可得成立；②假设，成立，当时，，即有，则，当时，上式显然成立；当时，，即，则当时，结论也成立．由①②可得对一切，成立．2．（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）由题意，得，即，解得或，已知故．，． 当时，，当时，，当时，满足上式，，．（2）法1．，，累加得当，，当，∴法2．先用数学归纳法证明当，．①当时，，左式>右式，不等式成立．②假设时，不等式成立，即当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立． ③由①②得证当，．.3．（2020·四川省珙县中学月考）若，且.（1）求，，，，（2）归纳猜想通项公式，用数学归纳法证明.【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】（1）因为，且.所以，，，；（2）猜想．可用数学归纳法证明．①已成立；②假设时，，则，时，命题也成立，综上对所有正整数，都有．