人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.3《等比数列》（解析版）

4.3等比数列思维导图常见考法 考点一等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列中，，，则公比的值为（）A．B．或1C．－1D．或－1（2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16B．8C．4D．2（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列的前项和，则=（）A．-1B．3C．-3D．1【答案】（1）B（2）C（3）C【解析】（1）由题意，解得或．故选：B．【答案】C（2）设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C． （3）因为数列是等比数列故满足，，代入得到故答案选C．【一隅三反】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知是等比数列，a1=2,a4=,则公比q=（）A．B．-2C．2D．【答案】D【解析】∵是等比数列，∴，∴．故选：D．2．（2020·黑龙江工农·高一期末（文））已知数列满足，若，则等于A．1B．2C．64D．128【答案】C【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选C.3．（2020·高二开学考试）各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由题得，所以，因为是各项都是正数的等比数列，所以，所以.故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则 的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0，由成等差数列，可得，即，所以，解得或（舍），所以.故选：D.5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以所以，即因为，所以故选：A考点二等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．（2）（2020·河南高二月考）在等比数列中，若，则（）A．B．C．D．【答案】（1）B（2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：，所以.则故选B. （2）由等比中项的性质可得，解得，因此，.故选：B.【一隅三反】1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列中，是方程的根，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得所以，因为，所以所以.故答案为A2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m成等比数列，则实数（）A．8B．4C．3D．2【答案】B【解析】因为为等比数列，故即，故选：B.3．（2020·宁夏二模（理））已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A．B．2C．或2D．或【答案】A【解析】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．考点三等比数列的前n项和性质【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=A．40B．60 C．32D．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（）A．B．90C．105D．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得成等比数列，所以成等比数列，所以.故选：C2．（2020·渝中·高一期中）等比数列的前n项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．180【答案】C【解析】因为数列是等比数列，故可得依然成等比数列，因为，故可得，故该数列的首项为，公比为2，故可得.故选：. 4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设是等比数列，且，，则（）A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.考点四等比数列的单调性【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），，因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.【一隅三反】1．（2020·湖北高一期末）已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（）A．4B．5C．6D．7 【答案】A【解析】为等比数列，，，，，，，．故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，故选：．2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为等比数列单调递减，所以，，因为，所以，又因为，所以，所以，故选：D3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（）A．若是递增数列，则B．若是递减数列，则C．若，则D．若，则是等比数列【答案】D【解析】A选项中，，满足单调递增，故A错误；B选项中，，满足单调递减，故B错误； C选项中，若，则，故C错误；D选项中，，所以是等比数列.故D正确.故选：D.4．（2020·宁夏兴庆·期末）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】①，，．，．又，，且．，即①正确；②，，即，故②错误；③由于，而，故有，故③错误；④中，，故④正确．正确的为①④，故选：．考点五证明判断等比数列【例5】（2020·）已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是等差中项. （1）证明数列等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，故，所以，所以数列是公比为3的等比数列.（2）因为是的等差中项，所以，所以，解得，数列的通项公式为.【一隅三反】1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列（）A．既不是等差数列又不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数，符合等差数列的定义，所以数列是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为的项，所以数列不是等比数列，故选D.2．（2020·高三月考）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列． 故选AD．3．（2020·浙江金华·期中）已知数列满足，．设．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1），，由条件可得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，，所以．