人教版高中数学选择性必修第二册精练：拓展二《数列求和的方法》（解析版）

拓展二数列求和的方法【题组一裂项相消】1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列的通项公式，若前n项的和为11，则n=________.【答案】143.【解析】因为，所以，所以因此，2．（2020·四川成都·高二期末）已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设数列，的公差分别为，，则由已知得，，所以，，所以，，所以，所以数列的前2018项和为,故选D.3．（2020·河南高二月考）已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为，由题意得，解得，，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以.4．（2020·月考）已知公差不为0的等差数列中，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使的n的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，成等比数列，所以，因为数列是等差数列，且，所以，即，解得或（舍去） 所以（2）因为，，所以，所以，解得，所以当时，n的最大值为.5．（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和6．（2020·江西其他）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项 （1）求数列{an}通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.所以（2）记则所以。7．（2020·安徽省太和中学高二期末（理））已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）当时，，则． 当时，因为，所以，则，即．从而，即，因为，所以，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可得，即．因为，所以，则，故．8．（2020·沭阳县修远中学高二月考）记是正项数列的前项和，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为是和的等比中项，所以①，当时，②，由①②得：，化简得，即或者（舍去），故，数列为等差数列，因为，解得，所以数列是首项为、公差为的等差数列， 通项公式：.（2）∵，∴.9．（2020·应城市第一高级中学高二开学考试）数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和，并证明：．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【解析】（1）证明：∵，∴，化简得，即，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，．因此．10．（2020·安徽金安·高二开学考试（理））设为首项不为零等差数列的前n项和，已知 ，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为d，则由题知解得(舍去)或，∴.（2）∵，∴.∴当且仅当，即时，等号成立，即当时，取得最大值.【题组二错位相减】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．【答案】（1）见解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.【解析】(1)证明：∵an＋1＝2an＋2n，∴bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知，bn＝n，∴＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①-②得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n∴Sn＝(n－1)2n＋1.2．（2020·河南高二月考（理））设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，因此；（2）由题意知：，所以，则， 两式相减得，因此，.3．（2020·河南高二月考）设等差数列的公差为，前项和为，且满足，.等比数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1），解得，从而.，两式相除得，，所以.（2）.,,相减得：,从而.4．（2020·开学考试（文））已知等比数列中，，是和的等差中项．(1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】(1)设数列的公比为，由题意知：，∴，即.∴，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.5．（2020·全国月考（理））设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由点在直线上，有，当时，，两式相减得，即，，又当时，而，解得，满足，即是首项，公比的等比数列， ∴的通项公式为.（2）由（1）知，，则，.两式相减得所以.6．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，. 7．（2020·广东汕尾·期末）已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等比数列的公比设为q，，即，是与的等差中项，可得，所以，整理求得，则；（2）由（1）可求得，，∴.①，②①－②得，所以，8．（2020·开学考试）数列的前项和为满足，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前和.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，而当时，，∴，()，故()是公比为3的等比数列.故，，由，，成等差数列，∴，即，有，∴（2）∵，有，∴，，上述两式相减，得，即有.【题组三分组求和】1．（2020·全国月考（理））已知数列满足，且.（1）证明：是等比数列；（2）求的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题易知，且， 所以是等比数列.（2）由（1）可知是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.所以.2．（2020·宝坻区大口屯高级中学高二月考）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.(2)由(1)得bn＝n＋2n，∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.3．（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和..【答案】（1）；（2）【解析】设等差数列的公差为，则，，因为成等比数列，所以， 即，整理为：（舍）或，所以；（2）由（1）可知，数列是以4为公比，4为首项的等比数列，前项和为，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，前项和为.所以数列的前项和为【题组四倒序相加】1．（2020·黑龙江萨尔图·高二月考（文））设，()A．4B．5C．6D．10【答案】B【解析】由于，故原式.2．（2020·贵州省思南中学月考）()，则数列的通项公式是___________.【答案】【解析】， ，两式相加可得，，所以.故答案为：3．（2020·江苏省月考）设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案为：. 4．（2020·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．【答案】2020【解析】由题意可知，令S=则S=两式相加得，．故填：5．（2020·江西上饶·高二月考（理））设，则__________．【答案】1008【解析】∵函数，∴，∴，故答案为1008.【题组五奇偶并项】1．（2019·高二期中）已知数列为等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以.即，化简得，因为公比，所以，因为，所以所以，；（2）当为偶数时，前项和；当为奇数时，前项和；则.2．（2020·黑龙江校月考（理））已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】当时，；当时，，显然满足上式，综上：；（2）由（1）知， .3．（2020·渝中·高三月考（理））已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，因为，所以，又，，成等差数列，所以即，解得，所以；（2）由题意，所以.4．（2020·江苏）在数列中，已知，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前50项和. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，即，因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以.（2）由（1）知，所以.5．（2020·广东佛山）已知为数列的前项和，且，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若对，，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）由，，解得或（舍去）；由①，②，则①-②得：，整理有；∵，知：，∴，，即，故；∴数列是首项为1，公差为3的等差数列.∴，. （2）∵，∴∴∴数列的前项和，.【题组六绝对值求和】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）当时，，即，当时，，时，满足上式，所以（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，， 所以2．（2020·河南安阳）记数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，由，可得，即有当时，，即为，可得，显然，.所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，即有（2）当为偶数时当为奇数时，综上可得，3．（2019·福建城厢·高三月考（文））设数列前项和为，且满足．（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）当时，，，当时，，与已知式作差得，即，又，∴，∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴．4．（2020·浙江）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），；（2） 【解析】（1）当时，，得；当时，，由，得.故为等比数列，其公比为2，所以.由，，得，，因为为等差数列，所以其公差，所以.（2）因为，所以当时，，当时，.所以当时，.当时，.故数列的前项和.