人教版高中数学选择性必修第二册精练：4.2.2《等差数列的前n项和》（解析版）

4.2.2等差数列的前n项和题组一等差数列的基本量1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列的前项和为，，若，则（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】,所以,选B.2．（2020·高二月考（文））已知等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列{an}首项为，公差为d,∵，∴3(,∴+12d=8，即故S25===25a13=200故选：D．3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列的前项和为，，且，则的公差（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由等差数列性质知，则.所以.故选A.4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（） A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴,解得,,∴小满日影长为（尺）.故选C.5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.【答案】，【解析】令等差数列的公差为，则由，知：，解之得；∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：，；题组二前n项和Sn与等差中项1．（2020·湖北黄州·其他（理））已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，.故选：B. 2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列中，，则（）A．12B．28C．24D．35【答案】B【解析】等差数列中，，故，所以.故选：B.3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（）A．36B．72C．91D．182【答案】D【解析】数列为等差数列，则，解得则故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】等差数列、前项和分别为，，由，得．故选：.5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（）A．B．11C．12D．13【答案】B【解析】因为等差数列前n项和为，所以， 当是奇数时，，所以,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A7．（2020·高一期末）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵等差数列{an}、{bn}，∴，∴,又，∴，经验证,当n=1,3,5,13,35时,为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5.本题选择C选项.题组三前n项和Sn的性质 1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列的前项和为,若,则( )A．12B．8C．20D．16【答案】C【解析】∵等差数列的前项和为，，由等差数列的性质得：成等比数列又∴．故选：C．2．（2020·重庆其他（文））等差数列的前项和为，已知，，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，故，代入数据可得，解得故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（）.A．63B．81C．99D．108【答案】C【解析】由为等差数列的前n项之和，则,也成等差数列，则，成等差数列，所以，由，，得，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列的前n项和为，且，，则(    )A．10B．20C．D．【答案】D 【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列的前项和为，若，，则（　　）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A．-4040B．-2020C．2020D．4040【答案】C【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C8．（2020·河北路南·）已知是等差数列的前项和，若，，则__________．【答案】【解析】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为， ，，，故答案为．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知是等差数列的前项和，若，，则________.【答案】2016【解析】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为.，，.，...故答案为：.题组四前n项和Sn的最值1．（2020·安徽铜陵·）设是公差不为零的等差数列的前n项和，且，若，则当最大时，n=（）A．6B．7C．10D．9【答案】B【解析】由等差数列中，，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列中，，，，则使前项和成立的最大自然数是（）A．2015B．2016C．4030D．4031【答案】C【解析】由题意知，所以，而，则有，而，所以使前项和成立的最大自然数是4030，故选C． 3．（2020·河北路南·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（）A．14B．15C．16D．17【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得，故，故当时，；当时，，所以当时，取最大值.故选：A.4．（2020·广西开学考试）已知等差数列的通项公式为，则使得前项和最小的的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，解得，时，；时，则使得前项和最小的的值为故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，所以可得．这样，而>0， ，所以在中最大的是．故选C．6．（2020·福建宁德·期末）公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A．B．C．中最大D．【答案】AD【解析】根据等差数列前项和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正确，BC错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·高一期末）已知等差数列的前项和为，若，则取最大值时的值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】等差数列的前项和为，且，，且，且，所以当Sn取最大值时.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（）.A．2B．1或2C．2或3D．3或4【答案】C【解析】设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得，，所以，因为，所以当或时，其有最小值.选：C题组五含有绝对值的求和1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列的前项和为，已知，且，则________.【答案】【解析】∵等差数列的前项和为，，且，，，，∴当时，；当时，，.故答案为：.2．（2020·黑龙江香坊·校高三三模（理））已知等差数列前三项的和为，前三项的积为， （1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.【答案】（1）或（2）【解析】（1）设等差数列的的公差为由，得所以又得，即所以，或即或（2）当公差时，1）当时，，设数列的前项和为，则2）当时，当时，也满足，当时，也满足，所以数列的前项和3．（2020·全国高三（文））在等差数列中，，.（1）求的通项公式； （2）求的表达式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设公差为，则，解得，，所以.（2）由可得，所以当时，，当时，.所以.4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列满足：，.（1）求及通项；（2）设是数列的前项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.（3）求数列的前10项和.【答案】（1），；（2）最小，；（3）前10项和为：.【解析】（1），当时，，，，，由知数列为首项是，公差为4的等差数列， 故；（2），故，，故最小，；（3）当时，；当时，，.5．（2020·湖北武汉）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵是等差数列，公差为，且，，∴，解得，，∴，∴数列的通项公式为：.（2）令，则，∴，∴，.∴时，；时，，∵，，∴时，， 当时，.∴.6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列中，，且前项和．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，由题意知，的最小值为，则，，所以，解得，，，因此，；（2）.当时，，则，；当时，，则，.综上所述：.