人教版高中数学选择性必修第二册精练：第五章《一元函数的导数及其应用》（章末测试）（解析版）

绝密★启用前第五章一元函数的导数及其应用章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·广东高二期末（理））函数的导函数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选：.2．（2020·广东高二期末（理））曲线在点处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.3．（2020·甘肃城关·高二期中（理））如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间（-2,1）上是增函数B．在区间（1,3）上是减函数C．在区间（4,5）上是增函数 D．当时，取极大值【答案】C【解析】选项A,区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误选项B,区间（1,3）导函数先是正后是负,所以原函数先增后减,B错误选项C,区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确选项D，当处，左边减右边增，取极小值，D错误答案是C4．（2020·甘肃城关·高二期中（理））设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】，，当x＝0时，y′＝a－1.故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，即：，从而a－1＝2，即a＝3.本题选择D选项.5．（2020·山西运城·高三月考（文））已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，即，所以函数是偶函数， 并且，所以函数在单调递减，，，，因为，所以，即.故选：D6．（2020·江苏省江浦高级中学高三月考）直线是曲线和曲线的公切线，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得， ，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，.故选：C.7．（2020·高三月考（文））设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∵是函数的极大值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，有极小值，且极小值为．故选A．8．（2020·四川巴中·高三零模（文））若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，当，，当或时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示，因为函数在区间上有最小值，故，解得：，故选：C.二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·江苏淮安·高三月考）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD10．（2020·四川省绵阳高二月考（理））对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则 【答案】ACD【解析】由已知，，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确；又令得，即，只有1个零点，B不正确；函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；若在上恒成立，即在上恒成立，设，，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，，故D正确.故选：ACD11．（2020·泉州第十六中学高二月考）如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数在区间内单调递减C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极大值 【答案】CD【解析】对于A选项，当时，，则函数在区间上单调递减，A选项错误；对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B选项错误；对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C选项正确；对于D选项，当时，，当时，，所以，函数在处取得极大值，D选项正确.故选：CD.12．（2020·湖北黄石港·黄石一中高二期末）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为，所以，令，解得，所以在和时，，在时，，所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，则在内单调递增，所以在内，最大；在时单调递减，所以在内，最大；在时单调递增，所以在内，最大；因为，且在区间上的最大值为28，所以，即k的取值范围是，故选：AB.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分） 13．（2018·福建高二期末（文））已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得：，则，即的值为e，故答案为.14．（2020·四川省绵阳高二月考（理））已知函数在处有极小值10，则___________．【答案】【解析】因为，所以，又函数在处有极小值10，且，解得，或，当时，此时，是函数的极小值点，当时，，此时，不是函数的极小值点，，，故答案为：15．（2020·高二期末（理））已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________． 【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.16．（2020·河南南阳·高二期末（理））已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为函数有且仅有一个极值点，所以只有一个解，即，只有一个解，即与只有一个交点，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，当时，；当时，，画出函数的草图如下： 结合图象可得或，解得或，当时，，所以，令，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以恒成立，所以在上单调递减，所以函数没有极值点.所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分） 17．（2020·广东高二期末（理））已知，在与处都取得极值.（1）求实数，的值；（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2），，.【解析】（1），，在与处都取得极值，与是的两根，即，解得，.（2）由（1）知，，，令，则或，和随在，上的变化情况如下表所示：，，，1，00极小值极大值，极大值为（1），在，上的最大值为，对任意，，都有成立，，解得或.故实数的取值范围为，，. 18．（2020·高二期末（文））已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】Ⅰ；Ⅱ.【解析】时，函数，可得，所以，时，．曲线则处的切线方程；即：；由条件可得，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，，所以在上为减函数．又，所以在上，；在上，．所以在上为增函数；在上为减函数．所以，所以．19．（2020·江西高二期末（理））设函数.（1）求函数的极大值点；（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），所以在，上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，函数的极大值点为.（2），可化为，即在区间上有两个不同的实数根，令，，则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，所以，又，，故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.20．（2020·北京高二期末）已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ），由题意可知，，故；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值也是最大值，故. 21．（2020·高二期末）已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）当时，，则，设切点坐标为，∴，解得，∴，∴过原点的切线方程；（2），∴，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴，无极大值；（3），恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，当时，， 设，，∴恒成立，∴在上单调递减，∴，∴，综上所述.22．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，所以，解得.所以，.由解得；由解得，所以的单调增区间是，单调减区间是.（2），由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值，，因为对于都有成立，所以只须即可，即，解得.