人教版高中数学选择性必修第二册精练：4.3《等比数列》（解析版）

4.3等比数列【题组一等比数列基本量计算】1．（2020·自贡市田家炳中学开学考试）已知是等比数列，，，则公比（）A．B．-2C．2D．【答案】D【解析】由题意可得，故可得故选：D．2．（2020·福建学业考试）等比数列2，4，8，…的公比为（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比.故选：C.3．（2020·月考（文））设为等比数列{}的前n项和,,则＝A．10B．9C．-8D．-5【答案】A【解析】由,得,故.故选：A4．（2020·开学考试）在等比数列中，，，则公比等于（）A．4B．2C．D．或4【答案】C【解析】因为在等比数列中，，，所以，则.故选：C.5．（2020·江西省奉新县第一中学月考（文））在各项均为正数的等比数列中，前项和为，若，，则公比的值是（）A．B．2C．D．4【答案】B 【解析】∵在各项均为正数的等比数列中，公比，又由，，可得，故由求和公式可得，，两式相比可得，解得，故选：B.6．（2020·云南一模（理））数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（）A．1或3B．0或2C．3D．2【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，即，解得或2，所以或，所以或3，故选：A7．（2020·古丈县第一中学高一期末）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（）A．2B．3C．D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得．故选：D8．（2020·钦州市第三中学高三月考（文））设等比数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，；当时，，解得.故选C. 9．（2020·福建期中）在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A10．（2020·期末（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．11（2020·全国月考（理））设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，化简得，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故答案为：12．（2019·浙江高二学业考试）已知数列满足，则＝________.【答案】4 【解析】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.【题组二等比数列中项性质】1．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（理））等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．10C．12D．14【答案】A【解析】等比数列的各项均为正数，且，由等比数列的性质可得：，．故选：．2．（2019·中区·月考）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，正项等比数列满足，所以，即，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，所以，又知道，所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，因为、为正整数，故等号不成立，当，时，，当时，，当，时，，故的最小值为故选：．3.（2020·贵州省思南中学月考）已知等比数列中，若且，则（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，解得，由，即，则有，解可得或，又由，则，则，故选：B.4．（2020·全国高二月考（文））等比数列的前n项和为，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于在等比数列中，由可得：， 又因为，所以有：是方程的二实根，又，所以，故解得：，从而公比那么，故选：D．5．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25B．C．5D．【答案】B【解析】是等比数列，且，.又，，，当且仅当时取等号.故选：B.【题组三等比数列的前n项和性质】1．（2020·广东濠江·金山中学高一月考）各项均为正数的等比数列的前项和为，若则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，， 两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.2．（2020·广东清远·高二期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（）A．9B．7C．5D．4【答案】B【解析】∵，根据分式的性质可得，根据等比数列的性质可知成等比数列，得到∴，∴∴.故选：B.3．（2020·武汉市钢城第四中学高一月考）已知等比数列的前项和为，，，则（）A．130B．150C．170D．190【答案】A【解析】等比数列的前项和为，，，所以，，依然成等比数列，所以，即，所以故选：A 4．（2020·湖北茅箭·十堰一中高一月考）已知等比数列的前项和为，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等比数列片断和的性质可知、、、成等比数列，且公比为，因此，.故选：D.5．（2020·高一月考）各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（）．A．B．30或C．30D．40【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由题意易知，则为等比数列，可得，，解得或（舍），故.故选：C.6．（2020·勃利县高级中学高一期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A．16B．19C．20D．25【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B 7．（2020·安徽高三其他（文））已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：8．（2020·浙江高一期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.9．（2019·江苏省月考）等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，可得，又因为 所以，，解得，故选B.10．（2020·河北丛台·高一月考）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（）.A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B.【题组四等比数列的单调性】1．（2020·上海高二课时练习）在等比数列中，首项，则是递增数列的充要条件是公比q满足（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】先证必要性：，且是递增数列，，即q＞0，且，则此时公比q满足0＜q＜1；再证充分性：， ，，即，则是递增数列，综上，是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1.故选：C.2．（2020·湖南月考（文））记为等比数列的前项和.若，，则满足不等式：的最大的值等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】设等比数列的公比为，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，从而，所以，故选：C.3．（2020·山东兰陵·高二期末）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（） A．B．C．的最大值为D．的最大值为【答案】ABC【解析】，，，，，A.，故正确；B.，故正确；C.是数列中的最大项，故正确．D.因为，，的最大值不是，故不正确.故选：ABC．4．（2020·安徽省明光中学高一月考）等比数列 的公比为，其前项和的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论:①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________.【答案】①④【解析】①中因为，所以即，因为，且，所以，即所以①正确；②中因为且，所以，即所以②不正确；③中，且， 所以，所以③不正确；④中，所以④正确.故答案为：①④5．（2020·上海市实验学校期中）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.【答案】①③【解析】∵，若，则，此时，与矛盾，故不成立，若，，此时，与矛盾，故不成立，∴，故①正确；因为，，，由得，故②不正确；因为，，， 所以当时，，当时，，所以是数列中的最大项，故③正确；，，∴使成立的最大自然数等于4032，故④不正确.故答案为：①③.【题组五证明判断等比数列】1．（2019·全国高一课时练习）在下列各选项中，不是一个等比数列的前三项的是（）.A．2，4，8B．-2，-4，-8C．-2，-4，8D．2，-4，8【答案】CA：，符合；B：，符合；C：，不符合；D：，符合.故选：C.2．（2020·福建高一期中）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（  ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列是等比数列，所以，对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列； 对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.3．（2020·河北运河·沧州市一中高一月考）下列说法正确是（）A．常数列一定是等比数列B．常数列一定是等差数列C．等比数列一定不是摆动数列D．等差数列可能是摆动数列【答案】B【解析】对于A选项，各项均为的常数列不是等比数列，A选项错误；对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为的等差数列，B选项正确；对于C选项，若等比数列的公比满足，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；对于D选项，若等差数列的公差，则该等差数列为递增数列；若，则该等差数列为常数列；若，则该等差数列为递减数列.所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.故选：B.4．（2020·安徽高一期末（理））若{an}是公差为2的等差数列，则是（  ）A．公比为324的等比数列B．公比为18的等比数列C．公差为6的等差数列D．公差为5的等差数列【答案】B【解析】设，则，是公差为2的等差数列，，，所以，数列是公比为18的等比数列.故选：B