4.1数列的概念题组一根据通项求项1．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高一月考）已知数列，则数列的第4项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意.故选：B.2．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）已知数列的通项公式是，则等于（）A．70B．28C．20D．8【答案】C【解析】因为，所以，所以=20.故选C.3．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列的一个通项公式为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则.故选：A.4．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列…，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项【答案】B【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为,时,,为数列第七项，故选B.5．（2020·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知数列的通项公式为，则 A．100B．110C．120D．130【答案】C
【解析】数列的通项公式为，则.故选：C.6．（2020·四川高一期中）已知数列的通项公式是，则220是这个数列的()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项【答案】B【解析】由题意，令，则，解得或；因为，所以，即220是这个数列的第20项.故选：B.7．（2020·四川省苍溪实验中学校高一期中）已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项【答案】【解析】令，解得，所以8是该数列的第11项，故答案为：.8．（2020·上海高二课时练习）在数列中，已知，则的前6项分别为______.【答案】【解析】易得，，，，，.故答案为：9．（2020·上海高二课时练习）已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.【答案】9【解析】令，即，解得或(舍去)，则是这数列的第9项，故答案为:9.10．（2020·上海高二课时练习）数列中，（），该数列从第_____项开始每项均为负值.【答案】34
【解析】令，解不等式得：，由于，故.故答案为：34.题组二根据项写通项公式1．（2020·江西高一月考）数列，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，.故选D.2．（2020·四川双流·艺体中学）数列2，，，，…的一个通项公式an等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列2，，，，…可写成：，，，，…所以通项公式an.故选C.3．（2020·上海市杨浦高级中学）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，，不合乎题意；对于B选项，，不合乎题意；
对于C选项，，不合乎题意；对于D选项，当为奇数时，，此时，当为偶数时，，此时，合乎题意.故选：D.4．（2018·吉林宽城·长春市养正高中高一期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．【答案】【解析】第一图点数是1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：5．（2019·山东东营·）已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.【答案】【解析】，，，，的通项公式为，，，，，的通项公式为，正负交替的通项公式为，所以数列的通项公式.故答案为：6．（2020·全国高一课时练习）写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，于是这个数列的前4项可以改写成，这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.（2）考虑到分子恰好是序号的2倍，所以分子应为2n.分母都为分子的平方数减去1，因此它的一个通项公式为.（3）这个数列的第n项可以是n个5组成的n位数，用代数式替代省略号，可考虑前4项改写成，其中又可表示成，这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式为.（4），考虑到其每一项与序号的关系将前几项分别写成：，因此它的一个通项公式为.题组三根据递推公式求项1．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在数列中，已知，，，则等于（）A．B．C．4D．5【答案】B【解析】由知：
故选：B2．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列3，7，11，的一个通项公式为，故数列，，，，的一个通项公式是，故选：C．3．（2019·河北廊坊·高一期末）数列的前几项为，则此数列的通项可能是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为.4．（2020·安徽黄山·高一期末）数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以其通项公式是：故选：B5．（2020·高一月考）数列4，6，10，18，34，……的通项公式等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选：C
6．（2020·浙江越城·期中）在数列中，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】已知逐一求解．故选D7．（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学高一期中）数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入四个选项可得为,B为,C为,D为.所以排除B、C选项.将代入A、D,得A为2,D为,所以排除D综上可知,A可以是一个通项公式故选：A8．（2019·息县第一高级中学高二月考（文））数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入四个选项，可知中D中所以排除C、D.当，代入B可得所以排除B，即A正确，故选：A.9．（2018·安徽高一期末（文））已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A【解析】①②③逐一写出为可以，④逐一写出为不满足，故选A．10．（2020·湖北十堰·高一期末）数列，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，排除A，C，由，排除B.故选：D.11.（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．题组四公式法求通项公式1．（2019·云南东川明月中学高一期中）数列的前项和,则的通项公式_____.【答案】【解析】当时,；当时,；∴故答案为2．（2019·湖南岳阳）已知数列，若，则数列的前项和为__________．
【答案】【解析】因为所以两式相减得所以设数列的前项和为Sn则3．（2020·上海市金山中学期中）已知数列的前项和，则__________．【答案】【解析】当时，当时，由，得，两式相减，，将代入上式，，通项公式为故答案为.4．（2019·黑龙江校期中）已知数列前项和为，且，则_______【答案】.【解析】当时，当且时，综上所述：，本题正确结果：5．（2020·河北石家庄·）在数列中，已知其前项和为，则__________．
【答案】【解析】当时，；当时，，不满足上式。故。答案：.题组五斐波那契数列公式1．（2020·重庆）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，.随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米【答案】B【解析】由题意可得且，解得.故选：B.2．（2020·安徽）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B
【解析】因为，将上述各式两边相加得，，所以.故选：B3．（2018·高二开学考试）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A．377B．610C．987D．1597【答案】C【解析】由题意若只有一个台阶，则有种上楼方法；若有两个台阶，则有种上楼方法；若有三个台阶，则有种上楼方法；若有四个台阶，则有种上楼方法；以此类推：若要到达第n个台阶，前一步可能在第n-1个台阶上再跨一台阶上去，也可能是在第n-2个台阶上跨两个台阶上去，∴满足，符合斐波那契数列的规律，由此规律列举出前15项：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987∴有15个台阶，则他到二楼就餐有987种上楼方法.故选：C.4．（2020·涞水波峰中学）斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为：，余数数列是周期数列，周期为8，，所以数列的前2019项中能被3整除的项有，所求概率为．故选：C．5．（2019·山东高二期中）“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故选．6．（2020·重庆6）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（）A．
B．且C．D．【答案】BC【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B满足条件；由，所以所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以所以，令，则，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以；即C满足条件；故选：BC7．（2020·浙江月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.【答案】【解析】因为斐波那契数列满足，，，∴；；；…；所以，因为．故答案为：，．8．（2020·广东高二期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：，，，记其前项和为，设（为常数），则______（用表示），______(用常数表示)【答案】【解析】
故，，，故故答案为：；
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