人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业16《函数的单调性》(含解析)

课时分层作业(十六) 函数的单调性(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)(  )A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减C．在上递增D．在上递减D [函数的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)＝1＋lnx＝0，可得x＝，∴0＜x＜时，f′(x)＜0；x＞时，f′(x)＞0.∴在上递减，在上递增．故选D.]2．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＞0的解集为(  )A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B [当x＞0时，x·f′(x)＞0⇒f′(x)＞0⇒函数单调递增；根据图形知，x＞1或x＜－1⇒x＞1；当x＝0时，不成立；当x＜0时，x·f′(x)＞0⇒f′(x)＜0⇒函数单调递减；根据图形知，－1＜x＜1⇒－1＜x＜0.综上所述：x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B.]3．已知函数f(x)＝2x－ln|x|，则f(x)的大致图象为(  ) A  B   C    DA [当x＜0时，f(x)＝2x－ln(－x)，f′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；当x＞0时，f(x)＝2x－lnx，f′(x)＝2－＝，则f(x)在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A.]4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是(  )A．(－∞，－2]B．[－2，2]C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)B [∵f(x)＝x3＋kx2－7x，∴f′(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f′(x)≤0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，所以解得－2≤k≤2.因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B.]5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(  )A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)B [依题意可设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0.所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0.所以要使g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B.]二、填空题6．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1，2) [f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数， 则实数a的取值范围是________．[－，] [f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.即a的取值范围是[－，]．]8．若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． [因为f(x)定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时f′(x)＞0.据题意，k－1＜＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜.]三、解答题9．已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在上的单调性．[解] (1)f′(x)＝－2bx，由题意，解得(2)由(1)知f(x)＝lnx－x2，f′(x)＝－x＝－，∴当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，∴函数f(x)的增区间是，减区间是[1，e]．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6lnx＋h(x)． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋)上是单调函数，求实数m的取值范围．[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，∴解得∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.(2)∵f′(x)＝＋2x－8＝(x＞0)．∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(1，3)．要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得＜m≤.即实数m的取值范围为.11．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中所具有M性质的函数的 选项为(  )A．f(x)＝2－xB．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD [A中，exf(x)＝ex·2－x＝在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质；B中，exf(x)＝ex·3－x＝在R上单调递减，故f(x)＝3－x不具有M性质；C中，exf(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质；D中，exf(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，∴exf(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．]12．(多选题)下列命题为真命题的是(  )A．＞ln2B．ln2＜lnC．ln2＜D．2＞5ABC [构造函数f(x)＝，导数为f′(x)＝，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)递减．因为32＞23，因为y＝lnx在定义域上单调递增，所以ln32＞ln23，所以2ln3＞3ln2，所以＞ln2，故A正确；∵e＞＞2，∴f＞f(2)，∴＞，ln＞ln2，故B正确；∵f(2)＜f(e)＝，∴＜，即ln2＜，故C正确； ∵e＞＞2，∴f()＞f(2)，∴＞，∴2ln＞ln2，∴ln()2＞ln(2)，∴5＞2，故D错误．故选ABC.]13．(一题两空)已知函数f(x)＝＋alnx＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调增区间是________．－1 (2，＋∞) [∵f(x)＝＋alnx＋x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＋1＝，由题知f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f′(x)＝，则f′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，令f′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，所以函数y＝f(x)的递增区间为(2，＋∞)．]14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]15．已知函数f(x)＝ax2＋2x－lnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝3时，f(x)＝x2＋2x－lnx，其定义域为(0，＋∞)．∴f′(x)＝3x＋2－＝. 令f′(x)＜0，得0＜x＜，令f′(x)＞0，得x＞，∴函数f(x)的减区间为，增区间为.(2)∵f(x)＝ax2＋2x－lnx(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝ax＋2－＝(a∈R)．若函数f(x)存在单调增区间，则f′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可．∵g(x)＝＝－1，∴g(x)min＝－1，∴a＞－1，即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．