课时分层作业(十二) 变化率问题(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )A.3 B.2 C.1 D.4B [由已知得:=3,∵m-1≠0,∴m+1=3,∴m=2.]2.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时物体的位移为Δs,那么为( )A.时间从t变到t+Δt时物体的速度B.在t时刻该物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度B [表示从时间t到t+Δt时物体的平均速度,从而表示在t时刻该物体的瞬时速度.选B.]3.若函数f(x)在x0处有定义,则的结果( )A.与x0,h均无关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均有关B [根据曲线在某点处切线斜率的意义知,该极限值只与x0有关,而与h没有关系.]4.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=
中,平均变化率最大的是( )A.④B.③C.②D.①B [Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.∴k3>k2>k1>k4,故应选B.]5.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( )A.800m/sB.600m/sC.200m/sD.400m/sA [位移公式为s=at2,∵Δs=a(t0+Δt)2-at=at0Δt+a(Δt)2,∴=at0+aΔt,∴==at0,已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,∴at0=800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.]二、填空题6.已知函数y=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________. [Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.]7.已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为________.(由大到小排列)
>> [∵==kOA,==kAB,==kBC.又∵由图象得kOA<kAB<kBC∴>>.]8.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是__________.2 [物体的速度为v=s′(t),∴s′(t)====2-6t.即v=2-6t,所以物体的初速度是v0=2-6×0=2.]三、解答题9.若函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a的值.[解] ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx.∴f′(1)===(aΔx+2a)=2a,即2a=2,∴a=1.10.若一物体的运动时间t(单位:s)与位移s(单位:m)的函数关系式为s=求此物体在t=1和t=5时的瞬时速度.[解] 当t=1时,s=3t2+2,∴v===(6+3Δt)=6.
当t=5时,s=29+3(t-3)2,∴v==(3Δt+12)=12.故此物体在t=1和t=5时的瞬时速度分别是6m/s和12m/s.11.(多选题)一做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=3t-t2.则下列正确的是()A.此物体的初速度是3m/sB.此物体在t=2时的瞬时速度大小为1m/s,方向与初速度相反C.t=0到t=2时平均速度1m/sD.t=3s时的瞬时速度为0m/sABC [A中,初速度v0===(3-Δt)=3(m/s).即物体的初速度为3m/s.即A正确;B中,v====(-Δt-1)=-1(m/s).即此物体在t=2时的瞬时速度为1m/s,方向与初速度相反.即B正确.C中,===1(m/s).即t=0到t=2时的平均速度为1m/s.即C正确.D中,v==(-3-Δx)=-3.故D错误,故应选ABC.]12.已知函数f(x)在x0处的导数为1,则等于( )
A.2B.-2C.1D.-1A [=2=2f′(x0)=2×1=2,故选A.]13.(一题两空)一质点按照运动规律s=2t2-t运动,其中s表示位移,t表示时间,则质点在[2,2+Δt]这段时间内的平均速度是________,在t=2时的瞬时速度是________.7+2Δt 7 [====7+2Δt,v=(7+2Δt)=7.]14.某堆雪在融化过程中,其体积V(单位:m3)与融化时间t(单位:h)近似满足函数关系:V(t)=H(H为常数)其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h).那么t1,t2,t3,t4中,瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的________.t3 [=,反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率,观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.]
15.试比较正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率哪一个大.[解] 当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为k1==.当自变量从变到Δx+时,函数的平均变化率为k2==.由于是在x=0和x=附近的平均变化率,故可知Δx较小,但Δx即可为正,又可为负.当Δx>0时,k1>0,k2<0,即k1>k2;当Δx<0时,k1-k2=-==.∵Δx<0,∴Δx-<-,∴sin<-,从而有sin<-1,sin+1<0,∴k1-k2>0,即k1>k2.综上可知,正弦函数y=sinx在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率.