人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业4《等差数列的性质》(含解析)

课时分层作业(四) 等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(  )A．－1 B．－2   C．－3   D．－4C [由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.]2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(  )A．6B．7C．8D．9B [∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7.]3．在等差数列{an}中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝(  )A．10B．15C．20D．25C [由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故选C.]4．下列说法中正确的是(  )A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．] 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为(  )A．钱B．钱C．钱D．钱B [根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，①a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，②联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝.]二、填空题6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________.132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.]7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8．(一题多空)在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，则2km，4km，8km高度的气温分别为________、________、________.2℃ －11℃ －37℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.] 三、解答题9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．[解] 法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±.当d＝时，a1＝－，an＝n－；当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，∴16－25d2＝7，∴d＝±.当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；当d＝－时，an＝－n＋.法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4，∴∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，∴或由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，∴an＝a3＋(n－3)d＝n－.同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋.10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a