课时分层作业(七) 等比数列的概念及简单表示(建议用时:40分钟)一、选择题1.若正数a,b,c组成等比数列,则log2a,log2b,log2c一定是( )A.等差数列B.既是等差数列又是等比数列C.等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列A [由题意得b2=ac(a,b,c>0),∴log2b2=log2ac,即2log2b=log2a+log2c,∴log2a,log2b,log2c成等差数列.]2.已知数列{an}是递增的等比数列,a6-a2=40,a4+a2=10,则a1=( )A. B. C. D.A [由条件知,a2(q4-1)=40①且a2(q2+1)=10②,①÷②得q2-1=4,∴q=,把q=代入②得a2=,∴a1===.]3.已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-是此数列的( )A.第2项B.第4项C.第6项D.第8项B [由(2x+2)2=x(3x+3)解得x=-1(舍)或x=-4,∴首项为-4,公比为.
∴由-4×=-13,解得n=4.]4.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则的值是( )A.B.-C.或-D.A [由于-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1.∵-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,∴b=(-1)×(-4)=4,∴b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,∴b2<0,∴b2=-2,∴==.]5.已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增,且a1·a3=36,a1+a2+a3=26,则a4=( )A.24B.36C.48D.54D [因为a1·a3=36,且为各项是正数的等比数列,得a2=6,所以由于为递增的等比数列,可得∴q2==9.∵an>0,∴q=3.∴a4=a1q3=2×33=54.故选D.]二、填空题6.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=________.3×2n-3 [由已知得==q7=128=27,故q=2.所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3.]7.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,
则这两个数为________.27,81 [设该数列的公比为q,由题意知,243=9×q3,得q3=27,所以q=3.所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]8.设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.64 [设等比数列的公比为q,由得,解得所以a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=8n×=2,于是当n=3或4时,a1a2…an取得最大值26=64.]三、解答题9.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.(1)求数列{an}的通项公式;(2)-是否为该数列的项?若是,为第几项?[解] (1)因为2an=3an+1,所以=,数列{an}是公比为的等比数列,又a2·a5=,所以a=,由于各项均为负,故a1=-,an=-.(2)设an=-,则-=-,=,n=6,所以-是该数列的项,为第6项.10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.[解] (1)由题意可得a2=,a3=.
(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以=.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=(n∈N*).11.(多选题)有下列四个命题,正确的是( )A.等比数列中的每一项都不可以为0B.等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞)C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列AC [对于A,因为等比数列中的各项都不为0,所以A正确;对于B,因为等比数列的公比不为0,所以B不正确;对于C,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以C正确;对于D,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以D不正确.因此,正确的说法有AC,故选AC.]12.(一题两空)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________. -1 [∵a2,a3,a7成等比数列,∴a=a2a7,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+3a1=0.①又∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1.②由①②解得a1=,d=-1.]13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值等于________. [已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b-c)(b-a),把c=a+x(b-a)代入上式,得x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即x2(b-a)2
=(1-x)(b-a)2.因为b>a,所以b-a≠0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=或x=(舍去).]14.设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列?并说明理由.[解] (1)因为=2=2d(n=1,2,3)是同一个常数且d≠0,所以2,2,2,2依次构成等比数列.(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0 (*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,与假设矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.