课时同步练5.3.3函数的最大（小）值与导数一、单选题1．函数在上的最小值为（）A．-2B．0C．D．【答案】D【解析】由题意，函数，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间上的最小值为，故选D．2．函数，的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A．3．已知函数，函数在上的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，则，
显然在上，故函数单调递增，故故选D4．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】因为不等式对于一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，所以的最小值为，故选C.5．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设，.当时，，为增函数；当时，，为减函数,且.所以有最大值，简图如下，
由图可知，时符合题意.故选C.6．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．不确定【答案】C【解析】由题意，，因为函数有最小值，且，所以函数存在单调递减区间，即有解，所以有两个不等实根，所以函数的零点个数为2.故选C.7．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则当时，，单调递减
当时，，单调递增存在，成立，，故选8．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（）A．1B．C．D．－【答案】A【解析】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时,,则时，，所以当时，;又函数为偶函数,所以当时，则,可知当，故在[-2，0)上单调递增,时，在[0,2]上单调递减,故.故选A
9．已知存在正实数，满足，则实数的取值范围是（）A．B．，C．，D．，【答案】C【解析】已知存在正实数，满足，则有解，令，则，，，则，又易得为增函数，又，当时，，当时，，所以在为减函数，在为增函数，所以，即的值域为，即，即实数的取值范围是，故选C．10．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（）A．3B．4C．D．【答案】A
【解析】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得，令，得.由时，，单调递减；当时，，单调递增.从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为.故选A（方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为.故选A11．已如函数，若，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，画出分段函数图象如下：
由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．否则不满足∴，∴，∵，∴，∴，，．构造函数，．则．∵，∴，∴，∴，∴．∴．∴在上是单调递增函数．∴．
∴．∴．故选C．12．已知对于任意的，总有成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得，设，由得，当时，，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以所以，所以，设，所以，所以函数在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，所以.所以此时的最小值为.当时，函数f(x)单调递增，不符合题意.故选A二、填空题13．已知函数，则的最大值为____________．【答案】
【解析】则函数在上单调递增，在上单调递减即故填14．已知函数，当（e为自然常数），函数的最小值为3，则的值为_____________.【答案】【解析】，，当时，则，在上是减函数，，（舍去）．当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意．故填．15．已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为_________.【答案】43.【解析】，,令，解得或，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以在时有极小值，也是上的最小值，即，函数在上的最大值在或时取得，，函数在上的最大值为43.故填4316．函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函数的最值，得到关于的不等式，从而求出的范围.详解：，依题意，时，成立，已知，则，所以在上单调递减，而在上单调递增，所以，，所以有，得，故的取值范围是.故填17．已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】当时，，令，则或；，则，
函数在上单调递减，在单调递增，函数在处取得极大值为，在出的极小值为.当时，，综上所述，的取值范围为故填18．设直线与函数，的图象分别交于点，则当达到最小值时，的值为________．【答案】1【解析】设，则，当时，，当时，，即函数在为减函数，在为增函数，即，即当达到最小值时，的值为1，故填.三、解答题19．已知函数有极小值.（1）求实数b的值；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.【解析】（1），由得：或，则：时：，f（x）递增；时：，f（x）递减；时：，f（x）递增；
函数f（x）在取得极小值，即，解得所求；（2）由以上可知函数f（x）在取得极大值又，故所求最小值为，最大值为.20．已知函数（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；（2）若的最大值为2，求实数的值.【解析】（1）若在上是减函数，则在恒成立，，∴，设，则，∵，∴递增，又，故.（2）由，要使，故的递减区间是，递增区间是，∴，即，∴.21．已知函数，是的导函数，.（1）当时，判断函数在上是否存在零点，并说明理由；（2）若在上存在最小值，求的取值范围.
【解析】（1）时，.令，即，，得，当变化时，，变化如下：-0+减最小值增∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.∴的极小值为.∴函数在上不存在零点.（2）因为，所以，令，则.①当时，，即，∴在单调递增，∴时，，∴在单调递增，∴在不存在最小值，②当时，，所以，即在内有唯一解，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，又因为，
所以在内有唯一零点，当时，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数在处取得最小值，即时，函数在上存在最小值.综上所述，在上存在最小值时，的取值范围为.22．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）依题意，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）令，则．令，则，当时，，，所以，函数在上是增函数．所以，所以．①当时，，所以函数在上是增函数，所以，即对任意不等式恒成立．②当时，，由，得．．当时，，即，函数在上是减函数，所以，即，不合题意．综上，所以实数a的取值范围是．
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