人教版高中数学选择性必修第二册课时练习5.3.2《函数的极值与导数》(解析版）

课时同步练5.3.2函数的极值与导数一、单选题1．函数有（）A．极大值，极小值3B．极大值6，极小值3C．极大值6，极小值D．极大值，极小值【答案】C【解析】根据题意，，故当时，；当时，；当时，.故在处取得极大值；在处取得极小值，故选C.2．函数的极值点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．3．函数，则（　　）A．为函数的极大值点B．为函数的极小值点C．为函数的极大值点D．为函数的极小值点【答案】A 【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．故选A4．函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数（）A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【解析】设导函数的图象与x轴的交点从左到右依次为，所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，所以函数有两个极大值点，两个极小值点.故选C5．函数的极大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.故选B.6．函数上的极小值点为（　　） A．0B．C．D．【答案】C【解析】y′＝1﹣2sinx＝0，得x或x，故y＝x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．∴x是函数的极小值点，故选C．7．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（）A．函数有3个极值点B．函数在区间上是增加的C．函数在区间上是增加的D．当时，函数取得极大值【答案】C【解析】函数有两个极值点：和，但不是函数的极值点，所以A错误；函数在和上单调递增，在上单调递减，所以B错误，C正确；不是函数的极值点，所以D错误.故选C.8．已知函数在处取得极小值，则的值分别为（）A．-4,4B．4，-4C．4,4D．-4，-4【答案】A【解析】，， 因为函数在处取得极小值，即解得故选9．设函数满足，，则时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】B【解析】由，即，结合，可知，，可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．故选B10．若函数仅在处有极值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，要保证函数仅在x＝0处有极值，必须满足在x＝0两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，∴∴，∴a的取值范围是故选A．11．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的解析式可得：，函数在内无极值，则在区间内没有实数根，当时，恒成立，函数无极值，满足题意，当时，由可得，故：，解得：，综上可得：实数的取值范围是.故选D.12．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，可得，又由函数在上有两个极值点，则，即在上有两解，即在在上有不等于2的解，令，则，所以函数在为单调递增函数，所以且，又由在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由函数在为单调递增函数，所以，综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.二、填空题13．函数共有________个极值.【答案】0【解析】由题知的导函数，，恒成立．函数在上是单调递增函数，函数没有极值．故填．14．已知是函数的极值点，则实数的值为______.【答案】2【解析】函数，所以，因为是的极值点，所以，即所以.故填2.15．正项等差数列中的，是函数的极值点，则______.【答案】4 【解析】因为，所以，又，是函数的极值点，所以，是方程的两实根，因此，因为数列是正项等差数列，所以，解得，因此.故填.16．已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为__________．【答案】【解析】由题意，函数，则，又由是函数的一个极值点，所以，解得，即，所以，所以函数在点处切线的斜率为.故填17．若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】，定义域为，令，令，可得，令，在上只有一个极值点，在上只有一个根且不是重根．所以，解得．实数的取值值范围是：， 故填18．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________【答案】【解析】由题可得因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根所以在上无变号零点．设，则当时，，在上单调递减当时，，在上单调递增所以，结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则故实数的取值范围为.故填三、解答题19．已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）求曲线的极大值，极小值. 【解析】（1）∵，∴在点处的切线的斜率为.∴切线的方程为.（2）令，解得或.当变化时，，的变化情况如下表:极大值极小值由上表，知，.20．已知为函数的导函数，且.（1）求的值；（2）求的单调区间与极值.【解析】（1）解：（1）由，得.因为，所以，解得.（2）因为，则.当时，，则函数的单调递减区间为；当时，，则函数的单调递增区间为.故在处取得极小值，极小值为，无极大值.21．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，所以，令，得或，所以当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2）存在，，理由如下：，令，得或，因为所以所以当时，恒成立，所以在R上单调递增，此时函数不存在极值，所以；当时，，所以当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以函数在时，取得极大值，所以，即，解得，所以存在，，使的极大值为3．22．已知函数.（1）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【解析】（1）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以， ，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.①当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.②当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.③当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.