人教版高中数学选择性必修第二册课时练习4.4《数学归纳法》(解析版）

课时同步练4.4数学归纳法一、单选题1．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选B2．用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.故选C.3．某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得（）A．时该命题不成立B．时该命题成立C．时该命题不成立D．时该命题成立【答案】C【解析】假设时该命题成立，由题意可得时，该命题成立，而 时，该命题不成立，所以时，该命题不成立.而时，该命题不成立，不能推得该命题是否成立．故选C．4．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选D5．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．6．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D． 【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.7．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项B．项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）时等式成立A．B．C．D．【答案】B【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、故选B.9．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故选B.10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选C．11．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据数学归纳法，当时，应将变形为，此时，和都可以被3整除.故该变形是合理的.故选. 12．已知数列的前项和，数列满足，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以适合n=1,所以.所以，所以，下面利用数学归纳法证明不等式（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立，（2），即．即，，，假设当时，原式成立，即，那么当时，即，即时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数都成立．所以，因为0＜a＜1，所以，所以.故选C 二、填空题13．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共______项【答案】【解析】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故填.14．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________.【答案】【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故填.15．凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为__________.【答案】【解析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，因此原凸n边形的这条边变为对角线，增加的第个顶点与原来凸n边形的顶点的连线也是增加的对角线，共增加了条，所以．故填．16．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是______________. 【答案】【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故填.17．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：①，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故填．18．已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项 【答案】45【解析】，可得，且；则，即，，即，两式相除得：，则，由，解得；由，解得；猜想，用数学归纳法证明，当时，，满足，假设当时，猜想成立，即，则当时，，满足，故猜想成立，即.，时，，当，不满足，故，由，当时，， 当时，，当时，．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故填45．三、解答题19．求证：.【解析】当时，左边，右边，等式成立.假设时等式成立，即.那么当时，左边右边.这就是说，当时等式仍成立.综上可知，对一切，等式成立.20．用数学归纳法证明：.【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当，时，不等式成立，即有，则当时，左边， 又即，即当时，不等式也成立.综上可得，对于任意，成立.21．已知数列，，且．（1）若的前项和为，求和的通项公式（2）若，求证：【解析】（1）的前项和为，是等差数列，设，则，，，满足（）（2）代入得，用数学归纳法证明：时，显然成立， 设时，成立，则时，所以成立22．设数列为前项和为，，数列是以2为公比的等比数列．（1）求；（2）抽去数列中的第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前项和为，求证：．【解析】（1）由题意得：，，已知数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以有，，当时，，又，所以.（2）由（1）知，∴数列为，，，，，，…，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；∴当时，，，， ∵，∴∴当时，，，∴，∵，∴，∴．