课时同步练5.3.1函数的单调性与导数一、单选题1.下列函数在区间上是增函数的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,依次分析选项,对于A,,其导数,当时,有恒成立,则函数在上为增函数,符合题意;对于B,,其导数为,在上,,则函数在上为减函数,不符合题意;对于C,,其导数为,当时,有恒成立,则函数在上为减函数,不符合题意;对于D,,为二次函数,在上为减函数,不符合题意;故选A.2.函数的单调递减区间是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,可得,令,即,解得,即函数的递减区间为.故选C3.已知函数,则()A.在上递增B.在上递增C.在上递减D.在上递减
【答案】A【解析】依题意,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.对照选项可知:函数在上递增.故选A.4.函数的单调减区间是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题,对函数定义域,求导可得,令,可得.故选D.5.函数的单调递增区间()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得,解不等式,所以.所以函数的单调增区间为.故选C6.函数的单调递增区间是()A.B.C.(1,4)D.(0,3)
【答案】B【解析】,,解不等式,解得,因此,函数的单调递增区间是,故选B.7.若函数,则函数的单调递减区间为()A.B.C.(0,3)D.【答案】C【解析】函数的定义域为:,因为,令并且,得:,所以函数的单调递减区间为(0,3).故选C.8.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数在区间单调递增,在区间上恒成立,则,而在区间上单调递减,,的取值范围是故选D.9.已知函数在上不单调,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C
【解析】.因为在上不单调.所以在上有解,又在上单调递减,所以,,故.故选C10.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增区间”,区间I叫做“缓增区间”.若函数是区间I上的“缓增区间”,则“缓增区间”I为()A.[1,+∞)B.[0,]C.[0,1]D.[1,]【答案】D【解析】因为函数的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,,令(x≥1),则,由g′(x)≤0得,即函数在区间上单调递减,故“缓增区间”I为,故选D.11.已知函数对于任意的满足,其中是函数的导函数,则下列不等式成立的是()A.B.
C.D.【答案】B【解析】由题意构造函数,则.对于任意的满足,故,当时,,当时,,因此在单调递减,在单调递增.又因为,因此,因此有,化简得.故选B12.若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为函数在区间上不是单调函数,所以在区间上有解,且不是重解.
即可得,令,,则,当时,,函数单调递增.故的值域为.故选A.二、填空题13.函数的递减区间为_______【答案】,【解析】函数的定义域为,,故当时,,也即函数的递减区间为.故填.14.若函数在上为减函数,则的取值范围为___________.【答案】【解析】由题意可知,即对恒成立,所以,所以即.故填.15.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为,所以,
函数在上单调递增,可知在上恒成立,即,所以,即,则实数的取值范围是.故填.16.定义域为的函数满足,且的导函数,则不等式的解集为_____________.【答案】.【解析】令,因为,所以.所以为单调增函数.因为,所以.所以当时,,即,得,解集为故填17.已知函数(为自然对数的底数),若,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】令,则为奇函数,且为增函数,所以故填18.已知函数在区间上是单调函数,则实数t的取值范围______.【答案】【解析】函数的定义域为,.令,可得或;令,可得.所以,函数的单调增区间为和,单调递减区间为.
由于函数在上单调,则为以上三个区间的子集.①若,可得;②若,可得,解得;③若,则.因此,实数的取值范围是.故填.三、解答题19.已知函数.(1)求在处的切线的方程;(2)求函数的单调区间.【解析】(1)函数,则,故在处的切线的斜率,故切线的方程是,即;(2)令,得或,令,得,故函数的单调增区间是,单调减区间是.20.已知函数的导函数的一个零点为.(1)求a的值;(2)求函数的单调区间.【解析】(1),
由,得.(2)由(1)得,则.令,得或.当时,;当时,或.因此的单调递增区间是,单调递减区间是.21.已知函数,.(1)若与在处相切,求的表达式;(2)若在上是减函数,求实数的取值范围.【解析】(1),,又与在处相切,,解得:,,即,解得:,;(2)在上是减函数,即在上是减函数,在上恒成立,即在上恒成立,则在上恒成立,
又在上单调递增,,,解得:,即实数的取值范围是.22.已知函数.(1)若函数在区间上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)讨论函数的单调性.【解析】(1)由题意得,.①当时,,函数单调递减.②当时,令,∵函数在区间上是单调函数,∴在区间上恒成立,∴在区间上恒成立.令,∵,当且仅当时取等号,∴,∴当时,函数单调递增,∴实数a的取值范围是.(2)由(1)可知,①当时,,函数在上单调递减,②当时,函数在上单调递增,③当时,由,解得或,
∴函数在,上单调递增,在上单调递减.