课时同步练4.3.2等比数列的前n项和(1)一、单选题1.等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,则其前八项之和等于()A.15B.21C.19D.17【答案】D【解析】由已知得,则.故选D.2.若a,4,3a为等差数列的连续三项,则的值为()A.2047B.1062C.1023D.531【答案】C【解析】∵a,4,3a为等差数列的连续三项∴a+3a=4a=2×4,解得a=2,故=20+21+22+…+29=.故选C.3.已知等比数列{an}的公比q=,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+a4+…+a100等于()A.100B.90C.60D.40【答案】B【解析】∵,∴,∴.
故选B.4.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为()A.12B.14C.15D.16【答案】D【解析】=q4=2,由a1+a2+a3+a4=1,得a1(1+q+q2+q3)=1,即a1·=1,∴a1=q-1,又Sn=15,即=15,∴qn=16,又∵q4=2,∴n=16.故选D.5.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列,所以,解得:,所以.故选A.6.若是一个等比数列的前项和,,,则等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可知,、、成等比数列,即、、成等比数列,
所以,,解得,故选D.7.设,则等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】数列是首项为2,公比为的等比数列,共有(n+4)项,所以.故选D8.已知一个等比数列的首项为2,公比为3,第m项至第n项()的和为720,那么m等于()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】由题意可得Sn﹣Sm﹣1=am+am+1+…+an=720,∵a1=2,q=3,由等比数列的求和公式可得,720,∴3n﹣3m﹣1=720,∴3m﹣1(3n﹣m+1﹣1)=9×80=32×5×24,则3m﹣1≠5×16,∴3m﹣1=9,∴m=3,故选A9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-2(a为常数且a≠0),则数列{an}()A.是等比数列B.当a≠1时是等比数列C.从第二项起成等比数列D.从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D【解析】由数列的前的和,可得当,得;当,得,
所以数列的通项公式为,当时等比数列,当时,是等差数列,故选D.10.已知数列的前项和为,,,则()A.128B.256C.512D.1024【答案】B【解析】∵Sn+1=2Sn﹣1(n∈N+),n≥2时,Sn=2Sn﹣1﹣1,∴an+1=2an.n=1时,a1+a2=2a1﹣1,a1=2,a2=1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.则a101×28=256.故选B.11.在正项等比数列中,,.则满足的最大正整数的值为()A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】∵正项等比数列中,,,∴.∵,解可得,或(舍),∴,∵,
∴.整理可得,,∴,经检验满足题意,故选C.12.已知是等比数列的前项和,若存在,满足,,则数列的公比为()A.B.C.2D.3【答案】D【解析】设等比数列公比为当时,,不符合题意,当时,,得,又,由,得,,故选D.二、填空题13.若数列中,,且,则其前项和______.【答案】【解析】依题意,,所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列,
则.故填.14.若等比数列的通项公式是,这个数列的前项之和为______.【答案】【解析】由题意可得,且公比为,因此,该数列的前项和为,故填.15.等比数列为非常数数列,其前n项和是,当时,则公比q的值为_____.【答案】【解析】,则,,则,解得或(舍去).故填.16.已知数列的前n项和为,则通项公式为_________.【答案】【解析】已知数列的前n项和为,当时,,当时,,
而,不适合上式,所以故填17.设Sn是等比数列的前n项和,若=,则=________.【答案】【解析】设等比数列的公比为q,因为,所以).由=,得,解得,所以,从而,所以,故填.18.已知数列的首项,,,记,若,则正整数的最大值为__________.【答案】【解析】因为,所以,设,得,与比较得,.
所以,又,所以,所以数列为等比数列,所以,所以,所以,若,则,所以,故正整数的最大值为,故填.三、解答题19.已知等差数列不是常数列,其前四项和为10,且、、成等比数列.(1)求通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】设等差数列的首项为,公差,解得:;(2),,是公比为8,首项为的等比数列,.
20.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.【解析】(1)设的公比为q,由题有:解得:故(2)若,则,由得,此方程没有正整数解;若,则,由得,,综上:21.记为数列的前项和.已知.(1)求的通项公式;(2)求使得的的取值范围.【解析】(1)由题知,①,当时,当时,②①减②得,,故是以为首项,为公比的等比数列,所以(2)由(1)知,,即等价于
易得随的增大而增大而,,,故,22.已知数列的前项和为,,且对任意的正整数,都有,其中常数.设﹒(1)若,求数列的通项公式;(2)若且,设,证明数列是等比数列;(3)若对任意的正整数,都有,求实数的取值范围.【解析】∵,,∴当时,,从而,,﹒又在中,令,可得,满足上式,所以,﹒(1)当时,,,从而,即,又,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以.(2)当且且时,,又,
所以是首项为,公比为的等比数列,﹒(3)在(2)中,若,则也适合,所以当时,.从而由(1)和(2)可知当时,,显然不满足条件,故.当时,.若时,,,,,不符合,舍去.若时,,,,,且.所以只须即可,显然成立.故符合条件;若时,,满足条件.故符合条件;若时,,,从而,,因为.故,要使成立,只须即可.于是.综上所述,所求实数的范围是.