人教版高中数学选择性必修第二册培优练习第5章《一元函数的导数及其应用》单元检测B（解析版）

数学选择性必修二尖子生同步培优题典第五章一元函数的导数及其应用单元检测B解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增，当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题．2．若函数，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，求出，进而可判断出函数单调性，得出结果.【详解】 因为，所以，故，解得，所以，因此，函数单调递增；故.故选B【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，属于常考题型.3．设直线与函数，的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】【分析】将，构建新函数，对新函数进行求导，分析单调性，求出极小值，则可求得达到最小值时候的值.【详解】令， 故的最小值即为的最小值，∴对求导有：，令有：，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，故选：B【点睛】本题需要学生构建新函数，将原题中两函数间的最小值问题，转化为新函数的最小值问题，考查了学生对运用导数处理函数最值问题的能力.需要有较强的转化化归思想，为容易题.4．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数，的部分图像如图所示，则的解析式可能为（） A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数为奇函数，从而排除A，D；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B，得出正确选项.【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数为奇函数，排除A，D；又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B选项，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目.5．曲线上的点到直线的最短距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为 ，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，对函数求导得，由，可得，则，所以，切点为.则点到直线的距离.曲线上的点到直线的最短距离是.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（）A．B．1C．或3D．3【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，将切线斜率代入到中，求出切点坐标，根据切点在曲线上可得的值.【详解】由得，，故， 故切线方程为.由得.令，解得.代入切线方程，求得切点为或.将切点坐标代入，求得或.故选：C.7．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点．【详解】设切点坐标为，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，则，.当或时，；当 时，.故的极大值点为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．8．已知函数.则下列结论中错误的是（）A．的极值点不止一个B．的最小值为C．的图象关于轴对称D．在上单调递减【答案】A【解析】【分析】判断函数的值域以及函数的单调性，求解函数的极值，函数的奇偶性、对称性，即可得到结果.【详解】因为，，所以，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，且只有一个极值点.因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.所以选项BCD正确，选项A错误，故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质，函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.二、多选题9．函数在定义域R内可导，若，且，若，则a，b，c的大小关系正确的有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】由得，则函数关于对称，当时，由得，函数单调递减；当时，由得，函数单调递增.又，，，故.故选：AC.【点睛】本题考查导数的方法判定函数单调性，利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力，属于常考题型. 10．已知函数有两个互异的极值点，下列说话正确的是（）A．B．有三个零点的充要条件是C．时，在区间上单调递减D．时，为极大值，为极小值【答案】ABC【解析】【分析】求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.【详解】因为函数，所以，因为有两个互异的极值点，所以，故A正确；所以若有三个零点则，故B正确；当时，开口向上，则时，，所以区间上单调递减，故C正确；当时，当或时，，当时，，所以为极小值，为极大值，故D错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（）A．2是函数的一个下界B．函数有下界，无上界C．函数有上界，无下界D．函数有界【答案】ABD【解析】【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；由恒成立即可判断C；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A，当时，,当且仅当时取等号，恒成立，是的一个下界，故A正确；对于B，因为，当时，；时，，在上单调递减，在上单调递增， ，有下界，又时，，无上界，故B正确；对于C，，，恒成立，有下界，故C错误；对于D，，，又，，，既有上界又有下界，即有界，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题.12．如图，在四面体中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为，设，对于函数，则下列结论正确的是（）A．当时，函数取到最大值B．函数在上是减函数C．函数的图象关于直线对称 D．不存在，使得(其中为四面体的体积).【答案】ABD【解析】【分析】由题意可知，设，则.利用导数性质求出当时，函数取到最大值.【详解】在四面体中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，由题意可知，，.棱锥与棱锥的高之比为.设，.，当时，，当时，，当时，函数取到最大值.故正确；函数在函数在上是减函数，故正确；函数的图像不关于直线对称，故错误；， 不存在，使得(其中为四面体的体积).故正确.故选：.【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题三、填空题13．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为______________.【答案】【解析】【分析】根据导数的定义和几何意义即可得到答案.【详解】由题知：，所以曲线上的点处的切线的斜率为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的定义和几何意义，属于简单题.14．在中，分别为角的对边，若函数有极值点，则的范围是__________． 【答案】【解析】【分析】【详解】由题意有两个不等实根，所以，，所以，所以．故答案为：.【点睛】对定义域内的可导函数来讲，导函数的零点是函数极值点的必要条件，只有在的两侧的符号正好相反，都是极值点．本题中导函数是二次函数，因此要使得的零点为的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．15．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=__________.【答案】0【解析】【分析】 由题意对已知函数进行二次求导，得出函数关于点中心对称，即，有次即可得到结果.【详解】由可得，，令解得，，由题意可得函数关于点中心对称，所以，所以.故答案为：0【点睛】本题主要考查导函数的求法，以及中心对称问题，解题的关键是找出中心对称的对称中心，考查学生的综合分析能力.16．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时__________【答案】 【解析】【分析】先将阴影部分的面积表示为，，只需求使得取最小值的即可得到答案.【详解】由已知，，，易得扇形的面积为，四边形的面积为，故阴影部分的面积为，设，则，令，得，记其解为，并且在上单调递减，在单调递增，所以得最小值为，阴影部分的面积最大值为，此时，.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题.四、解答题17．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性 【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.【详解】（1）由得，则在点处的切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为，即；（2）因为所以当时，在上恒正；所以在上单调递增当时，由得，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当时，当时，单调递减；当时，单调递增.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.18．如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点为圆心，为半径做圆弧，将作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自点起，改为直道.已知千米，点A到OM，ON的距离分别为千米和1千米，，且千米，记.（1）求的取值范围；（2）已知弧形线路的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？【答案】（1）；（2）当θ为时，总造价最少. 【解析】【分析】（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线CN的方程，所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C的坐标，当PN过点C时，求出，结合图形，即可得出结果；（2）先由题意，得到的长为，设，得出，，，用导数的方法求出其最小值即可.【详解】（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，，所以直线CN的方程为，所在圆的方程为，联立解得， 当PN过点C时，，，所以的取值范围是.（2）由题意，的长为，设，则，所以总造价，，，所以，令得，，所以，列表如下：↘极小值↗所以当时，有极小值，也是最小值.答：当为时，总造价最少.【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型. 19．已知函数（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：【答案】(1)；(2)见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.(2)是典型的极值点偏移问题，先证明,再利用在上的单调性，即可得证.试题解析：(1)，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.(2)①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由得，当时，，所以为增函数，当时，，所为减函数，所以当时，取得极小值又因为存在两个不同零点，所以，即 整理得，作关于直线的对称曲线，令所以在上单调递增，不妨设，则，即，又因为且在上为减函数，故，即，又，易知成立，故.点晴：本题主要考查导数在函数中的应用，具体涉及到函数的极值，函数的极值点偏移问题.第一问中存在极值点1，所以，解得;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：一是在构造函数证明其大于于0恒成立，二是利用在上为减函数，两者结合即可证明结论成立.20．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于函数，再运用的关系将不等式转化为证，构造函数，分析函数的单调性，得出最值，不等式可得证.【详解】（1）解：函数的定义域为，，则.①当时，对，所以函数在上单调递增；②当时，，所以对，所以函数在上单调递增；③当时，令，得或，所以函数在，上单调递增；令，得，所以在上单调递减.（2）证明：由（1）知且，所以.又由.又因为 .所以要证，只需证.因为，所以只需证，即证.令，则，所以函数在上单调递增，所以对.所以.所以若存在两个极值点，则.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）利用导数求的最大值小于零即可，或恒成立，等价于，，然后构造函数，利用导数求其最大值即可；（3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立)，当时，有，然后利用累加法可得，当时，有，再利用累加法可得，从而可证得结论【详解】（1）①当时，，所以在上递增；②当时，令，则，当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减.（2）方法1：构造函数①当时，由（1）在上递增，又，不符合题意，舍；②当时，由（1）知在区间上递增，在上递减；所以，解得：.综上：方法2：分离参数 恒成立，等价于，设，，，令，，则当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减；所以，所以：（3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立)①当时，，即；所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；②当时，，即，即所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；综上：当时，.【点睛】 此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题，考查累加法的应用，考查转化思想和计算能力，属于难题22．已知函数，为的导函数.（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）证明：函数在上存在唯一零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，成立，当时，分离参数得设，利用导数求出的最小值，即可.（2）先求出，，再求导得，可得单调递增，多次利用零点存在定理，利用导函数的符号判断原函数的单调性即可求证.【详解】（1）解：当时，成立，当时，.设，，则.∵，∴，∴在上单调递减， ∴，∴.（2）证明：∵，∴，.则，则.∵当时，，∴为增函数，且，，∴存在唯一的，使得，∴当时，；当时，.∴在上单调递减，在上单调递增.又∵，，∴存在唯一的，使得，∴当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减. ∵，，∴存在唯一的，使得，∴在上存在唯一零点.【点睛】本题主要考查了恒成立问题，采用分离参数转化为求函数的最值，考查了函数的单调性与导数符号的关系，考查了零点存在定理，属于难题.