数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2等差数列解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。一、单选题1．记等差数列的前项和为，若，则（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列式，即可得，再将、用通项表示出来，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.2．数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A．1475B．1425C．1325D．1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得
,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.3．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）.若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则（）A．2019B．2020C．2021D．2022【答案】C【解析】【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，
，当时，，（），当时，.又，.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.4．已知等差数列的前项和为，，则（）A．B．13C．-13D．-18【答案】D【解析】【分析】通过等差数列的性质，可得S3，S6S3，S9S6为等差数列，设，即可得出结果.【详解】由，可设∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，即a，6a，成等差数列，∴，即∴
故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题目.5．在等差数列中，，则此数列前项的和是（ ）．A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.详解：由等差数列的性质可得：，，代入已知可得，即，故数列的前项之和．故选．点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广：(2)若为等差数列，且；(3)若是等差数列，公差为，，则是公差的等差数列；(4)数列也是等差数列.6．设等差数列满足：，且公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】【详解】∵，
∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴．∵，∴，则．由，对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．∴首项的取值范围是，故选D．【点晴】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．二、多选题7．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】由题意可得，则，由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，因此，正整数的可能取值有、、.故选：ACD.【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8．设正项等差数列满足，则（）A．的最大值为B．的最大值为C．的最大值为D．的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.【详解】因为正项等差数列满足，所以，即.①，当且仅当时成立，故A选项正确.②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.
③，当且仅当时成立，所以的最小值为，故C选项错误.④结合①的结论，有，当且仅当时成立，故D选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.9．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A．数列{an}是递增数列B．S5＝60C．D．S1，S2，…，S12中最大的是S6【答案】BCD【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式可得a7＜0，a6＞0，再结合等差数列的通项公式和求和公式依次判断即得解.【详解】依题意，有S12＝12a1•d＞0，S13＝13a1•d＜0，化为：2a1+11d＞0，a1+6d＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．由a3＝12，得a1＝12﹣2d，联立解得d＜﹣3．等差数列{an}是单调递减的．S1，S2，…，S12中最大的是S6．S55a3＝60．
综上可得：BCD正确．故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列综合，考查了等差数列通项、求和公式和性质，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、填空题10．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式……由此推断并十苯的分子式为________.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是：所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为：，稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为：，所以并n苯的分子式为：，
因此当时，得到并十苯的分子式为：.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.11．数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为n2，已知数列{an－n}的前2018项和为1，那么数列{an}的首项a1＝________.【答案】【解析】【分析】先根据数列{bn}的前n项和为n2，可求得，再分n为奇数，得，分n为偶数，得,将的前2018项和化为代入已知条件可得值.【详解】数列{bn}的前n项和为n2，所以也符合，故，故，设的前n项和为.若n为奇数，则，解得,若n为偶数，则，解得,×.又，所以，得.
故答案为：.【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，以及数列分项数为奇数和偶数分别反应规律的相关问题，解决的关键是根据规律构造出所需的式子，属于中档题.12．已知等差数列的前n项和，且满足，（且），若（），则实数t的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先利用已知条件解得，再利用等差数列公式构建关系，得到之间的关系，解得参数，再计算t的取值范围即可.【详解】当时，①②设，因为，所以①②得，又因为，故，或，若时，由知，则，，与已知矛盾，因此不符合题意，舍去，，得，又.故答案为：.【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前前n项和公式的综合应用，属于难题.四、解答题13．在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足：，.（1）求的最小值；（2）设数列的前项和，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值；（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.【详解】（1）若选择②③；由题知：，又因为，解得所以，解得，所以，所以，所以；若选择①②；由题知：，又因为，解得，所以，解得，所以，
所以，所以；若选择①③；由题知：，所以，由题知：，所以联立解得：，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．已知等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求数列的前项和；（3）若，如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,由已知建立方程组,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n项和；（2）分当时和当时，分别求和可得数列的前项和；（3）由（1）得，作差得，讨论n可得出的最大值，再由恒等式思想，建立关于t的不等式，可求得实数的取值范围.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得得,所以，，；（2）当时，，∴，当时，，∴；（3），则由，①当时，，②当时，.③当时，，所以，所以数列的最大值为，又因为恒成立，所以，所以或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，绝对值项的求和，以及不等式的恒成立问题，关键在于得出数列的单调性，得出数列的最大项，属于难度题.
15．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．（3）设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值为．【解析】【分析】（1）由解得，，得到数列满足，，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得，所以，求得的值，又由数列是等差数列，所以，求得，即可得到结论；（3）由题可得，利用裂项相消法可得，即，即可得到答案．【详解】（1）因为数列为等差数列，，所以，又，所以，是方程的两个根，由解得，，设等差数列的公差为，由题意可得，所以，所以，，所以，解得，所以，故数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以，所以，，，
因为数列是等差数列，所以，即，即，解得（舍去），当时，，易知数列是等差数列，满足题意．故非零常数的值为．（3）由题可得，利用裂项相消法可得，故，所以存在正整数，使得对任意的均成立，的最小值为．【点睛】（1）常见的求数列通项的方法：①公式法：当已知数列为等差或等比数列时；②叠加法：当已知数列满足，且可求时；③累乘法：当已知数列满足，且可求时；④由求数列通项，当已知条件给出关于n的代数式时．（2）常见的数列求和方法：①公式法：当已知数列为等差或等比数列时；②错位相减法：当已知数列满足，且是等差数列，是等比数列；③分组求和法：当已知数列满足，且是等差数列，是等比数列；④裂项相消法：当已知数列满足时.（3）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．16．设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设，，请计算，，；（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.【答案】（1）（2）详见解析（3）29【解析】【分析】（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．（2）可求，，通过反证法证明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【详解】（1）由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，则，，得，故．（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，，．得，，，．所以若，则存在，，使，若，则存在，，，使，
因此，对于正整数，考虑集合，，，即，，，，，，．下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，则存在，使，，，即，，，由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，设，则，且，，，，所以，当，时，对于整数，若，则成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．则对于整数，存在，，，，，使成立，整理，得，又因为，，所以且是7的倍数，因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数，若，则，又由第二问，对于整数，则，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因为，，，，所以．【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
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