数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2等比数列解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。一、单选题1．已知是数列的前项和，，则数列是（）A．公比为3的等比数列B．公差为3的等差数列C．公比为的等比数列D．既非等差数列，也非等比数列【答案】D【解析】【分析】由得，然后利用与的关系即可求出【详解】因为，所以所以当时，时，所以故数列既非等差数列，也非等比数列故选：D【点睛】要注意由求要分两步：1.时，2.时.2．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】
【分析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.【详解】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.3．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）A．“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B．“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C．“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D．“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列【答案】C【解析】【分析】
根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果．【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C．【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4．设，．若p：成等比数列；q：，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．考点：等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件．
5．已知数列：，，，，，..，，，，，，，…的前n项和为，正整数，满足：①，②是满足不等式的最小正整数，则（）A．6182B．6183C．6184D．6185【答案】B【解析】【分析】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项．将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，那么位于数阵第11行最后一项，通过计算得；设数阵中第k行各项之和为，则，故通过计算可得满足的最小正整数，即可得出最后结果.【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项．将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，如下所示：对于①，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为，
∴；对于②，数阵中第k行各项之和为，则，且数列的前k项之和，，而，故恰好满足的项位于第11行．假设位于第m项，则有，可得出．由于，，则，∴．因为前10行最后一项位于的第项，因此，满足的最小正整数，所以．故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.6．已知函数，，为x轴上的点，且满足
，，过点分别作x轴垂线交于点，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，其中，则满足条件的p，q共有（）A．0对B．1对C．2对D．无数对【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，，由与相似得到或，再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图，由题意，，的纵坐标为，所以，，，，与均为直角三角形，故与相似或.当时，，无解；当时，，所以．故存在两对满足条件的，，分别为，或，．故选：C【点睛】
本题考查数列与函数的应用，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道中档题.二、多选题7．数列为等比数列（）.A．为等比数列B．为等比数列C．为等比数列D．不为等比数列（为数列的前项）【答案】BCD【解析】【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.【详解】解：设的公比为，A.设，则，显然不是等比数列.B.，所以为等比数列.C.，所以为等比数列.D.当时，，显然不是等比数列；当时，若为等比数列，则，即，所以，与矛盾，综上，不是等比数列.故选：BCD.【点睛】考查等比数列的辨析，基础题.8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，
，，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【详解】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；，因此，即B正确；因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.9．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】【分析】
根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列满足，，，所以，两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列的通项公式是，A.令时，，而，故错误；B.令时，，而，故错误；C.当时，，而，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；D.因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.三、填空题10．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【详解】由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．11．等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为______【答案】18【解析】【分析】求出数列前n项的和，根据不等式之间的关系求解可得答案.【详解】
解：由等比数列的公比，，可得，可得：，则，且，由为等比数列，可得是以为首项，公比为的等比数列，则原不等式等价为：，因为，把，代入整理得：，可得：，，即：，由,故答案为：18.【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合，计算量大，属于中档题型.12．平面直角坐标系中，已知点.且，当时，点无限趋近于点，则点的坐标是____________.【答案】【解析】【分析】先计算的坐标，再求出的坐标，利用向量的和可求点的坐标，利用基本极限可求的坐标.【详解】因为，故，因为，故
，故的坐标为，因为，故.故答案为：.【点睛】本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前项和以及数列的极限，注意根据基本极限来求的坐标，本题综合度高，为难题.四、解答题13．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可求出，根据定义求出数列的公比，从而可求出；（2）由题意得，再用错位相减法求和即可．【详解】解：（1）当时，==4；当时，，且亦满足此关系，
∴的通项为，设的公比为，则，则，∴；（2）由题意，，而，，两式相减，有，．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题．14．已知数列的前项和为，且满足.（1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，记数列前项和为，证明.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，利用数列通项与前n项和关系，得到，再利用等比数列的定义求解.（2）由（1）得到，则，然后利用裂项相消法求得，再根据为递增数列求解.【详解】（1）由题意得，当时，，
∴，即，当时，，∴故是以3为首项，3为公比的等比数列（2）由（1）可知，∴，∴∴因为时，，所以为递增数列，故因为，则，故所以【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知数列满足,,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为，所以，因为，所以，所以数列是等比数列；(2)因为，所以，所以，又因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；(3)①当时，；
②若n是偶数，则，所以当n是偶数时，；③当n是奇数，且时，；综上所述，当时，.【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.16．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，.（1）求等比数列的通项公式（2）若，，求前2020项和；
（3）若，，，是与的等比中项且，对任意，，求ρ取值范围.【答案】（1）；（2）；（3），．.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为．可知若时，原题意不成立；当时，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2），，由裂项相消法求和；（3）由已知可得，，利用等比数列的求和公式分别求得与，得到，再由数列的函数特性分类求出的范围，则答案可求．【详解】（1）设等比数列的公比为．若，由，求得，与矛盾；若，由已知有，解得．；（2），，则；（3）由已知可得，，则．
，．．当为偶数时，单调递增，，，；当为奇数时，单调递减，，，．故．取值范围为，．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前项和的求法，训练了裂项相消法求数列的前项和以及数列的单调性与最值，是难题．
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