人教版高中数学选择性必修第二册培优练习5.1《导数的概念及其意义》（解析版）

数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.1导数的概念及其意义解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知曲线在处的切线方程为，则函数图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出的值，然后可得答案.【详解】因为，曲线在处的切线方程为，所以，结合可得所以，解得所以图象的对称轴方程为故选：A【点睛】本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.2．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.【详解】，，，，，.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.，.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.3．若实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D． 【答案】D【解析】【分析】将题意转化为求函数与直线上任意两点之间距离的最小值的平方的问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果.【详解】因为，故可得，，故点可理解为函数上的任意两点.又，令，故可得，即函数在处的切线与平行，又切线方程为：，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值即为.故选：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属综合中档题.4．直线是曲线和曲线的公切线，则（） A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由可求得直线与曲线的切点的坐标，由可求得直线与曲线的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线的方程，可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得，，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，.故选：C.【点睛】 本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.5．将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】首先根据导数的几何意义，求出过点与曲线相切的切线的切点，并求直线的斜率和倾斜角，再根据题意得出的最小正值.【详解】由题意得，设过点的直线与曲线相切于点，则，解得，所以直线的斜率，故的最小正值是．故选：B．【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查直观想象，计算能力，属于中档题型.6．若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在点处的切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数的解析式联立，由可求得实数的值.【详解】对于函数，，则曲线在点的切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由于直线过点，可得，解得或.当时，切线为轴，对于函数，则，解得；当时，切线方程为，联立，整理得，，由题意可得，解得.综上所述，或.故选：A.【点睛】本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题 7．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为（）A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D．甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．【答案】ABC【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果.【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．D错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正确；故选：ABC.【点睛】本题考查切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属常考题型.8．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】ABD【解析】【分析】 由题意可得，由函数的图象与性质可得函数的对称轴方程为，函数取得最大值，由导数的几何意义可得使得在P点处的切线与直线l：平行，，解得，由方程解得最小值为，从而可得正确答案.【详解】根据函数的图象知，，，，，根据五点法画图知，当时，，，，，；令，， 解得，，函数的对称轴方程为，，A正确；当，时，函数取得最大值，B正确；，假设函数的图象上存在点，使得在P点处的切线与直线l：平行，则，解得，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程，则，，，或，，方程的两个不同的解分别为，，则，其最小值为，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了导数的几何意义，考查了辅助角公式的应用，属于中档题.9．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数 ，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（）A．曲线在点处的切线方程为B．C．曲线关于点对称D．当时，【答案】ABC【解析】【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D.由B结合，有，判断.【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确. 由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.当时，有，，所以，故D不正确.故答案为：ABC.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.三、填空题10．若，则=________.【答案】【解析】【分析】【详解】由极限的定义可得：，.故答案为：11．已知函数且，则曲线在点 处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】先根据条件求值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可.【详解】因为，所以.因为当时，，所以.又，所以所求切线方程为，即，即.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.12．若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为__________．【答案】【解析】设直线与曲线相切于，由函数，可得，令，又，解得，即有，可得切点，代入，解得，可得与直线平行且与曲线相切的直线，而两条平行线 与的距离，即有的最小值为，故答案为.点睛：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题；设出切点，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点，求出与直线平行且与曲线相切的直线，再求出此两条平行线之间的距离，即可得出.四、解答题13．已知函数，为函数图象上一点，曲线在处的切线为.（1）若点坐标为，求切线的方程；（2）求当切线的斜率最小时点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果；（2）先对函数求导，求导数的最小值，得出此时的，即可得出切点横坐标，从而可求出切点.【详解】（1）因为，所以，又点坐标为，所以， 因此在处的切线为；（2）因为，当且仅当时，取最小值，根据导数的几何意义可知，此时切线斜率最小，又时，，所以.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，以及求切点坐标，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.14．泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．【答案】（1）5000.6(元)；（2）2000(元)；（3）见解析.【解析】【分析】（1）将x=1000代入函数可得总利润，总利润除以总数1000可得平均利润；（2）计算即可得解；（3）求导得c′(x)，再分别计算c′(1000)和c′(1500)，利用导数代表瞬时变化率可知为实际意义为生产一台多获利的钱数.【详解】 (1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利润为＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为＝＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；.而当产量为1500台时，生产一台机械可多获利1000元．【点睛】本题考查了导数概念的实际应用，考查了导数的运算，关键是理解导数概念的实际意义.15．已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）若过点可做曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】（1）a=1，b=3；（2）．【解析】【分析】（1）根据题设条件可得关于的方程组，从而可求的值.（2）设切点为，则可得关于的方程有3个不同的实数解，利用导数讨论的极值的正负，从而可得的取值范围. 【详解】解：（1），由在点处的切线方程为，得，，故，故，（2）由（1）得，过点向曲线做切线，设切点为，则切线方程为．因为切线过，故，整理得到：，∵过点可做曲线的三条切线，故方程有3个不同的解.记，．∴当时，有极大值，当时，有极小值．故当，即时，函数有3个不同零点．∴实数的取值范围是．【点睛】本题考查导数的几何意义和函数的零点，对于三次函数的零点的个数问题，一般转化为函数的极值的正负来讨论，本题属于中档题. 16．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为2千米和5千米，点N到的距离分别为4千米和2.5千米，以在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）；（2）①；②当时，公路的长度最短为.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得的值.（2）①先求得切线的方程，然后求得的横截距和纵截距，进而求得的表达式. ②利用基本不等式求得公路的最小值以及此时的值.【详解】（1）依题意可知，代入得，所以.（2）①设（），曲线的导函数，所以曲线在处切线的斜率为，由点斜式得切线方程为：，即，令得，即切线的纵截距为；令得，即切线的横截距为；所以.②由于，而，当且仅当时等号成立.所以当时公路的长度最小为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查待定系数法求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于难题.