数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.4*归纳法解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。一、单选题1．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论.【详解】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.2．某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得A．时该命题不成立B．时该命题成立C．时该命题不成立D．时该命题成立【答案】C【解析】【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用时命题不成立，得出时命题不成立，而无法判断.由此得出正确选项.【详解】
假设时该命题成立，由题意可得时，该命题成立，而时，该命题不成立，所以时，该命题不成立.而时，该命题不成立，不能推得该命题是否成立．故选C．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.3．用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.【详解】当时，等式左边，当时，等式左边，因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，解答的关键就是观察等式左右两边结构的变化，考查计算能力，属于基础题.4．用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（）A．B．C．D．【答案】B
【解析】【分析】各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【详解】根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当时，左端值为，右端为，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.故选：B.【点睛】本题主要考查放缩证明不等式，解决问题的关键是根据放缩法分析计算，同时要注意排除法的应用.5．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.【详解】根据数学归纳法，当时，应将变形为，此时，和都可以被3整除.故该变形是合理的.故选：.【点睛】本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.6．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（）
A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.二、多选题7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则上述证法（）A．过程全部正确B．的验证正确C．的归纳假设不正确D．从到的推理不正确【答案】BD【解析】【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.【详解】有题意“的验证正确”是正确的，故B正确。在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：BD.【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题.8．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法错误的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．从“到”左边需要增加的代数式是。【答案】ABC【解析】【分析】因为的初始值为2，所以不正确；作差可知都不正确.【详解】
第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：ABC【点睛】本题考查了数学归纳法的步骤，属于基础题.9．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，
则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.三、填空题10．已知函数，对于，定义，则的解析式为________.【答案】【解析】【分析】分别求出到的值，可猜想，再用数学归纳法证明即可；【详解】解：函数对于，定义，．
，，由此可以猜想以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设时成立，即，则时，也成立故故答案为：．【点睛】本题考查数形归纳法的应用，属于中档题.11．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项【答案】【解析】【分析】由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.【详解】解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为：.
【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.12．凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为______.【答案】【解析】【分析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，由此可得对称线增加的情形．【详解】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，因此原凸n边形的这条边变为对角线，增加的第个顶点与原来凸n边形的顶点的连线也是增加的对角线，共增加了条，所以．故答案为：．【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法中从到的变化是解题关键．四、解答题13．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】（1）当时，，∴，
当时，，∴，∴，，猜想，；（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题.14．已知函数，其中是的导函数.若.（1）求的表达式；（2）求证：，其中n∈N*.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件猜想，利用数学归纳法证得猜想成立.（2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.【详解】（1）由题意可知，，由已知
，，猜想，下面用数学归纳法证明：（i）当n=1时，，结论成立：假设n=k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即，那么，当n=k+1（k≥1，k∈N*）时，，即结论成立.由（i）（ii）可知，结论对n∈N*成立.（2）∵，∴，∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1），∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）.【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题.15．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意列方程组求，从而求出.根据数列的前项和为，求出，即求；（2）法一由，得，累加法可证明，即可证明结论.法二用数学归纳法证明.【详解】解析（1）由题意，得，即，解得或，已知故．，．当时，，当时，，当时，满足上式，，．（2）法1．，
，累加得当，，当，∴法2．先用数学归纳法证明当，．①当时，，左式>右式，不等式成立．②假设时，不等式成立，即当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得证当，．.【点睛】本题考查数列的通项公式，考查与数列有关的不等式的证明，属于较难的题目.16．设复平面，分别对应复数，已知，且为常数）.（1）设,用数学归纳法证明：
；（2）写出数列的通项公式；（3）求.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【解析】【分析】(1)根据数学归纳法证明过程,先证明当时等式成立,再假设当时等式成立,来证明时成立即可.(2)将复数化简可得,根据等比数列定义可知公比.进而由等比数列通项公式即可求得数列的通项公式;(3)根据题意先求得及,再求得与,由数列的性质即可求得的值.【详解】(1)证明:当时,等式左边等式右边左边=右边所以当时等式成立假设当是等式成立,即则当时即当时等式也成立综上可知,对于,等式成立(2)因为
且为常数所以数列是以首项，公比的等比数列所以数列的通项公式为(3)因为所以而所以所以【点睛】本题考查了复数的化简求值,数学归纳法在证明等式中的应用,等比数列通项公式的求法,向量的坐标运算及模长,综合性较强,属于难题.
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