选择性必修二尖子生同步培优题典5.2导数运算解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数的导函数是，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t
（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A．12贝克B．12ln2贝克C．6贝克D．6ln2贝克【答案】A【解析】【分析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求.【详解】解：，所以，，(贝克)，故选：A.【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.3．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：①；②；③；④其中为恒均变函数的序号是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②④【答案】B【解析】【分析】
针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解.【详解】对于①，，，满足，故①为恒均变函数；对于②，，，满足，故②为恒均变函数；对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；对于④，当，时，，，即此时，故④不为恒均变函数.故选：B.
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.4．设，，，…，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.【详解】，，，，，，由此可知：，.故选：D.【点晴】
本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.5．已知函数，其导函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】计算得到，，代入数据得到答案.【详解】函数，，，，故答案选.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出是解题的关键.6．函数的导函数为，集合，中有且仅有１个元素，则的取值范围是（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】计算得，又由题知，在上仅有一个零点，所以可得，则有，求解不等式组即可得的取值范围.【详解】计算得，又由题知，在上仅有一个零点，又，所以，由得，所以，解得：，所以当时得；
当时得；当时得；故得：.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.二、多选题7．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立,从而得到答案.【详解】
对于A选项，，则，当时，恒有，是凸函数；对于B选项，，则，当上，恒有，是凸函数；对于C选项，若，则在上恒成立，是凸函数；对于D选项，若，则，则在上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数存在导函数，称为函数的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数（为常数）的弹性函数是
B．函数的弹性函数是C．D．【答案】ABD【解析】【分析】利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可.【详解】对于A，，即A正确；对于B，，即B正确；对于C，而，二者不相等，即C错误；对于D，即D正确
故选：ABD【点睛】本题是一道新定义的题，考查了学生的分析能力和转化能力，较难.9．已知，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】对函数进行求导，逐个选项验证即可.【详解】∵，∴，∴，即A正确；，即B错误，C正确；，故D错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查了导数的运算，熟练掌握导数的乘法运算法则是解题的关键，属于基础题.
三、填空题10．已知，则的值为___________.【答案】.【解析】【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得，，再相加可得答案.【详解】由，得，所以，①②由①②得，,则.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.11．若函数是函数的导函数，且满足，则不等式的解集为____________.【答案】
【解析】【分析】由题意可设，由，可得，由此求出的解析式，不等式可解.【详解】，可设由，得又，即，解得又即解得故答案为：【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造型函数，属于难题.12．对于三次函数（）给出定义：设是函数
的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算______.【答案】2020【解析】【分析】由题意“拐点”就是对称中心,求出给定函数的对称中心坐标,探究出对称性,计算出结果.【详解】函数,则,,结合题意令,解得,而,由题意可知函数关于点对称,则有,令则两式相加得,所以,即.故答案为:【点睛】
本题考查了导数得计算和函数得对称性,需要理解题目条件的意思,并能运用已知条件来解题,本题的难点在函数的对称性,能探究出函数对称性可得计算结果,需要掌握解题方法.四、解答题13．求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则进行求解即可.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，化简可得，；（3）因为，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得，；
（4）因为，所以化简可得，.【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.14．已知，函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，得到，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先对函数求导，分别计算，，，将所求式子化简整理，即可得出结果.【详解】（1）若，则，所以，则，即曲线在点处的切线斜率为，又，
所以所求切线方程为：；（2）由得，所以，，，因此.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.15．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数分别求导，通过且，列方程求解即可；
（2）对函数分别求导，通过且，列方程，求出即可.【详解】解：（1）函数，则．由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“”点．（2）函数，，则．设为与的“”点，由且，得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为与的“”点．因此，的值为．【点睛】本题考查对新概念的理解与应用，考查分析能力与计算能力，难度不大.16．已知函数，记为的导数，.（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.【答案】（1），（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由为的导数，先求的导函数，再求值即可；（2）由（1）猜想，再利用数学归纳法证明即可.【详解】解：（1）因为，则，，（2）猜想：.下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；②假设（且）时，结论成立，即.当时，.所以当时，结论成立.
所以由①②可知对任意的结论成立.【点睛】本题考查了函数的导函数的求法，重点考查了数学归纳法，属中档题.
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