人教版高中数学选择性必修第二册专题4.4《数列的求和》提升卷(解析版)

专题4.4数列的求和（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设数列的前n项和，则数列的前n项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，，因此，所以.故选:D2．（2020·（西区）高一期中）已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（）.A．25B．26C．13D．【答案】C【解析】，，即， 设，①则，②则①＋②得：，故.故选：C.3．（2020·广东揭阳市·高二期中）已知函数且，则等于（）A．0B．100C．-100D．10200【答案】B【解析】由已知条件知，即是奇数）故选：B．4．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（）A．1348B．1347C．674D．673 【答案】B【解析】“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，即，，，，，，，数列是以3为周期的周期数列，，由题意知，由于，所以，所以．则．故选：B5．（2020·河南商丘市·高三其他模拟（理））定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，当时，，即（共1项）；当时，，即（共2项）；当时，，即（共4项）；… 当时，，即（共项），由，得．即，所以．所以，则，两式相减得，．故选：D．6．（2020·全国高三月考（文））已知数列的前项和为，且，现有如下说法：①；②；③.则正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】因为，所以，所以，，联立得：，所以，故，从而，，， 则，故，，，故①②③正确.故选：D7．（2020·江苏南通市·高三期中）已知数列的前n项和为，，当时，，，则S2019的值为（）A．1008B．1009C．1010D．1011【答案】C【解析】当时，，①可得，②由②－①得，，整理得，又由所以.故选：C.8．（2020·广东广州市·增城中学）已知的前项和为，，当时，，则的值为（）A．1008B．1009C．1010D．1011【答案】C【解析】由题意，当时，可得，因为，所以，即，当时，两式相减，可得，即， 所以，所以.故选：C.9．（2020·广东深圳市·高三月考）已知数列满足：，，用表示不超过的最大整数，则的值等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由，得，∴，，，由，得，，知从以后都大于1，∴，∴，则，故选：A.10．（2020·山西高三期中（理））若数列的通项公式为，在一个行列的数表中，第行第列的元素为，则满足的的最大值是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】数列的通项公式为，在一个行列的数表中，第行第列的元素为，所以．令，则，所以，数列为递增数列，当时，所有的元素之和为，当时，，当时，，当时，，故的最大值为，故选：B．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·四川雅安市·雅安中学高一期中）数列的通项公式为，其前2020项的和为______.【答案】【解析】，∴，，，，，，，，由上可知，数列的奇数项为-1，偶数项，，. 故答案为：．12．（2020·山西省榆社中学高三月考（理））已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数n的值为______．【答案】13【解析】当时，的所有非空子集为：，，，所以.当时，.当时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有个元素，共有个非空子集，.当最小值为时，不含，含，共有个元素，有个非空子集，.……所以…….因为，，即.所以使得的最小正整数的值为.故答案为：.13．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则__________.【答案】【解析】设的公比为，由得或（舍去） 所以在区间上，，在区间上上，个1在区间上，，个2在区间上，，个3，…归纳得当时，所以令则两式相减，整理得所以故答案为：14．（2020·全国高三专题练习）已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）．【答案】100【解析】因为是等差数列，，所以，解得，所以， 所以因为是公比为c的等比数列，且，所以，故，当时，，当时，，综上,故答案为：100；15．（2020·江苏苏州市·周市高级中学高二月考）已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式______.设，则数列的前项和______.【答案】【解析】因为，所以当时，，当时，，符合的情况，所以；因为，当为偶数时，， 所以，当为奇数时，，所以，综上可知.故答案为：；.16．（2020·海南高三期中）已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由，，得，，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，，.又，所以恒成立，即，恒成立.令，则，所以是递减数列，所以，，即， 实数的取值范围为.故答案为：；.17．（2020·福建莆田二中高二月考）“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，从第三项开始每一项都是数列中前两项之和.这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的.在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？即斐波那契数列中，，,，则______；若，则数列的前项和是_______（用表示）.【答案】144【解析】由，,，依次可求出的值，利用用累加法可求出数列的前项和【详解】解：因为，,，所以，同理，因为，,，所以……以上累加得，， 所以，故答案为：144；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·校高三月考（理））已知数列是等差数列，前项和为，且.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，数列是等差数列，所以，又，所以，由，解得，所以，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，，，两式相减得，，所以.19．（2020·湖南衡阳市一中高三期中）设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n 项和为，，____.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n和.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选条件①时，（1）时，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，（1）由于，所以①，当时，②，①②得：，，整理得，所以. （2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件③时，由于，①②①②时，，整理得（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.20．（2020·四川雅安市·雅安中学高一期中）设数列的前项和为.已知，，. （1）求通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2），，.【解析】（1）由题意得，则，又当时，由，得，且，所以数列是公比为3的等比数列，所以，数列的通项公式为，.（2）设，，，.当时，由于，故，.设数列的前项和为，则，.当时，，所以，，，.21．（2020·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）本题首先可根据得出，然后两式相减，得出，（1）因为，，所以，则，即，，因为，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，因为，所以，即，则.（2），令，则，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，即，令，，则，当时，即当时取到最小值， 故，实数的取值范围为.22．（2020·四川师范大学附属中学高一期中（理））已知各项都是正数的数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式.（2）设数列满足：，，数列的前项和.求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）①当时，得，∴或0（舍去）；②当时，，∴.又∵各项为正，∴，∴为首项是，公差是的等差数列，∴.（2）由题得，┇ ，所有式子相加，得.又∵，∴，∴，∴.又∵，∴.