人教版高中数学选择性必修第二册专题4.2《等差数列》提升卷(解析版)

专题4.2等差数列（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·黑龙江高三期中（理））在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】由得，将代入得，因为，所以，得.故选：B2．（2020·河南高二期中（理））已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（）A．4或5B．5或6C．4D．5【答案】A【解析】设递减的等差数列的公差为（），因为，所以，化简得，所以，对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A 3.（2020·河北保定市·高碑店一中高一月考）已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．2【答案】A【解析】因为，，，故所以，故.故选：A.4．（2020·浙江其他）已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵恒成立，∴，∴递增；反之，可取，则递增，但，所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A.5．（2020·其他（文））已知数列满足且，设的n项和为，则使得取得最大值的序号n的值为（）A．5B．6C．5或6D．6或7【答案】C 【解析】由已知得，，故是公差为得等差数列，又，所以，令，故或6时，取得最大值．故选:C6．（2020·云南保山·其他（文））已知是公差为2的等差数列，为的前n项和，若，则（）A．10B．12C．15D．16【答案】D【解析】由题意得：，且，∴，将代入得：，所以.故选：D.7．（2020·云南楚雄彝族自治州·高二期中）在等差数列中，，，则（）A．12B．22C．24D．34【答案】B【解析】设数列的公差为则故.故选：B 8.（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．9.（2020·黑龙江南岗·开学考试（文））设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A．6B．7C．8D．13【答案】B【解析】根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.10．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且， 所以可设，，所以，，所以.故选：A第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·江西昌江·高三月考（理））已知数列是公差的等差数列，的前项和为，，，则______________.【答案】【解析】已知数列是公差的等差数列，则，由等差数列的求和公式可得，所以，，则有，解得，，，因此，.故答案为：.12．（2020·河南信阳·其他（文））设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由，解得，.所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，. 故答案为：.13．（2020·江苏相城·南京师大苏州实验学校月考）已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．【答案】【解析】在等差数列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范围是．故答案为．14．（2020·江苏镇江市·高三期中）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则______，______．【答案】【解析】由题意，∴时，，两式相减得：，， 又，满足，∴，．故答案为：；．15．（2020·高一期末）已知数列的前项的和为，，则数列的通项公式为______；数列的前项和为______.【答案】【解析】由于数列的前项的和为.当时，；当时，.不适合，因此，.当时，，设数列的前项和为.当且，则，因此，数列的前项的和为.故答案为：；.16.（2020·全国高二（文））已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．【答案】【解析】 ∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，得到，当时，，当时，，又，∴，∴，当时，，当时，、、…、，当时，、、…、，当时，、、…、，当时，，故数列的前项的和为：．故答案为：，.17．（2020·黑龙江南岗·高三其他（文））等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.【答案】12【解析】空1：设等差数列的公差为，因为，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，设， ，显然当时，，当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，，所以数列的最大项为，因为中有2个元素，所以不等式只有两个不同正整数根，而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案为：三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·上海高二课时练习）在项数为的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，求n．【答案】【解析】在等差数列中，项数为.偶-奇，由题意可知，偶-奇，又，，解得：，故的值为5.19．（2020·高一月考（理））等差数列中，且，求数列的前10项的和．【答案】或.【解析】 设等差数列的公差为，因为且，所以，即，解得或，当时数列的前10项的和，当时数列的前10项的和.20．（2020·广西开学考试）数列是等差数列，，，，其中，求通项公式以及前项和.【答案】当时，，；当时，，.【解析】，，，数列是等差数列，，即，解得或，当时，，数列的通项公式为，；当时，，数列的通项公式为，. 综上所述，当时，，；当时，，.21．（2020·邵东县第一中学月考）已知公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2+a5＝22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Sn的最大值．【答案】（1）an＝-4n＋25；（2）66.【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，所以，解得或，又数列的公差，所以，所以，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以，所以当时，最大，最大值为．22．（2020·贵州高一期末）在数列中，，.（1）证明，数列是等差数列.（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.【解析】 （1）因为，所以，因为，所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）得，则.因为，所以，所以，则，即数列是递减数列.故要使恒成立，只需，因为，所以，解得.故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.