4.3.2等比数列的前n项和公式(1)导学案1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．2．会用错位相减法求数列的和．3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.重点：等比数列的前n项的运用难点：等比数列的前n项和公式的推导1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．符号语言：2.等差与等比数列3.等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q≠1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q≠1)首项a1、公比q＝1
求和公式Sn＝Sn＝Sn＝;;na1一、新知探究国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列的前项和公式的推导过程.等差数列,,的前项和是根据等差数列的定义=①②
①+②得，).所以问题4：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？问题5：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.①问题6：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？问题8：要求出，是否可以把上式两边同时除以(1？问题3的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”二、典例解析
例1.已知数列是等比数列.（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求.例2已知等比数列的首项为，前项和为，若，求公比.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．跟踪训练1.已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝93，求n.例3已知等比数列的公比，前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝( )A．8B．7C．6D．52．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝( )A．－1B．1C．－2D．23．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则＝( )A．－5B．－3C．5D．34．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝( )A．12B．－15C．12或－15D．12或155．等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.
（1）等比数列前项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；②分类讨论思想：由等比数列前项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究问题1：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项.通项公式为问题2：求这个等比数列的前64项的和，即：=？问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列,,的前项和是根据等差数列的定义=①②①+②得，).所以问题4：
在等比数列中，所以).对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题5：求和的根本目的是什么？思路：①问题6：问题7：①②设等比数列的首项为，公比为，则的前项和是根据等比数列的通项公式，①②①②得,=即(1=(1)问题8：(1=(1)当1时，即时，=当1时，即时，=问题3的解决：
==一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！二、典例解析例1.解：（1）因为，，所以.（2）由，，可得，即.又由，得.所以.（3）把，，代入，得，整理，得，解得.例2解：若，则，所以.当时,由得，
.整理，得，即.所以.跟踪训练1.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则解得所以an＝a1qn－1＝48×n－1.(2)Sn＝＝＝96.由Sn＝93，得96＝93，解得n＝5.例3证明:(方法一)当时，，，，所以，，成等比数列，公比为1.当时，，，，
所以.因为为常数,所以，，成等比数列，公比为.(方法二)，，.所以.因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.结论：等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为.注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.达标检测1．B 解析：由Sn＝，a1＝1，q＝2.当Sn＝127时，则127＝，解得n＝7.故选B.2．A 解析：∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.又a1≠0，∴q＝－1.故选A．3．C 解析：由题意可得：＝＝1＋(－2)2＝5，故选C．4．C 解析：因为a1＝3，S3＝9，当q＝1时，满足题意；故可得S4＝4a1＝12；当q≠1时，S3＝＝9，解得q＝－2，
故S4＝＝＝－15.综上所述S4＝12或－15.故选C．5．解：(1)由题意可得q2＝＝＝，所以q＝－或q＝.当q＝－时，S4＝＝－5；当q＝时，S4＝＝－15.综上所述，S4＝－15或S4＝－5.(2)S6＝＝315，解得a1＝5.
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