人教版高中数学选择性必修第三册4.2.2《等差数列的前n项和公式》（1）导学案 (含答案)

4.2.2等差数列的前n项和公式（1）导学案1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点)重点：等差数列的前n项和的应用难点：等差数列前n项和公式的推导方法等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝Sn＝功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个.一、新知探究据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？探究新知高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，前100项的和问题等差数列中，下标和相等的两项和相等.设an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at可得：问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋…＋101吗？问题3：你能计算1＋2＋3＋…＋n吗？问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？倒序求和法二、典例解析 例6.已知数列{an}是等差数列.（1）若a1=7,=101,求；（2）若a1=2,=,求；（3）若=，d=,=5,求；等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．跟踪训练1 已知等差数列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.例7.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(  )A．20    B．30C．40D．502．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(  )A．5B．7C．9D．11 3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(  )A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－14．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.5．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究等差数列中，下标和相等的两项和相等.设an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at可得：问题3：需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n为偶数时，+当n为奇数数时，n－1为偶数 +对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋…＋n问题4：将上述两式相加，得所以倒序求和法. 二、典例解析例6分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得解：（1）因为a1=7,=101，根据公式，可得=2700.（2）因为a1=2,=，所以d=.根据公式，可得=（3）把=，d=,=5代入，得整理，得解得或（舍）,所以跟踪训练1 [解] (1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.又Sn＝na1＋d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. 例7.分析可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得解=310,=1220,把它们代入公式得解方程组，得所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。(法二)∵数列{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．由题意，得解得∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(法四)由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，∴是以a1为首项，为公差的等差数列，∴，，成等差数列，∴＋＝2×，∴S30＝30＝30×(122－31)＝2730.达标检测1．【答案】C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．【答案】A [由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝＝＝5.]3．【答案】B [由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．【答案】190 [S19＝＝＝190.]5．【答案】∵Sn＝n·＋·－＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.