人教版高中数学选择性必修第三册5.1.1《变化率问题》（导学案） (含答案)

5.1.1变化率问题导学案1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念1．平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率＝＝.x2－x1；f(x2)－f(x1)；；2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝.某一时刻；3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f(x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；；1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0．(  )(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(  )(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(  )(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝．(  )2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(  )A．f(x0＋Δx)  B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(  )A．4B．4.1C．0.41D．－1.1一、学习导引在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。二、新知探究问题1高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。例如,在0≤t≤0.5这段时间里，在1≤t≤2这段时间里，一般地，在≤t≤这段时间里，探究1：计算运动员在0≤t≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？问题2.抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究. 探究3.你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线的变化情况。探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线T的斜率呢？从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线T的斜率与割线P的斜率有内在的联系，记点P的坐标，于是割线P的斜率+2 利用计算工具计算更多割线P的斜率的值，当无限趋近于0时，割线P的斜率有什么变化趋势？从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线P无限趋近于点处的切线，这时，割线P的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此，切线的斜率=2.三、典例解析例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)).(2)求平均速度：＝.(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数).跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s. 例2.已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为?1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若v＝＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是(  )A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于________．3．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．4．求函数y＝在x＝2处的切线的斜率．1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念参考答案：知识梳理1．[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√(  )2．D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．B [＝＝＝＝4.1，故选B.]学习过程 二、新知探究三、典例解析例1．[思路探究] ―→[解] ∵＝＝＝3＋Δt，∴＝(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.跟踪训练1．[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵＝＝＝1＋Δt，∴(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.跟踪训练2．[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又＝＝(2t0＋1)＋Δt.＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.例2.解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，∴斜率k＝＝＝1＋1＝2.达标检测1．C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．] 2．4＋2Δx [Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝2Δx＋4.]3．[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)=3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.4．[解] ∵Δy＝－＝－1＝－，∴＝－，∴k＝＝＝＝－1.