人教版高中数学选择性必修第三册4.2.1《等差数列的概念》（1）导学案 (含答案)

4.2.1等差数列的概念（1）导学案1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(  ) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(  )(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(  )A．22 B．24   C．26   D．284．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(  )A．－1B．1C．3D．4一、学习导引我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为,④ 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？三、典例解析例1.（1）已知等差数列的通项公式为求公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例2(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c 成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(  )A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(  )A．8 B．12   C．16   D．243．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．参考答案：知识梳理1.×;×;√2．解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d