5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）导学案1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想．重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)0，那么f(x0)为极小值；2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值．( )(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．( )一、新知探究
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？二、典例解析例6:求在[0,3]的最大值与最小值.求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
(2)单调区间取端点,当图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1. 求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈.例7:给定.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图像；（3）求出方程=()的解的个数.函数的图像直观地反映了函数的性质，通常可以按如下步骤画出函数的大致图像（1）求出函数的定义域；（2）求导数及函数的零点；（3）用零点将的定义域为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，并得出单调性与极值；（4）确定图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出的大致图像.例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分,其(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?1．优化问题
生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．利润最大；用料最省；效率最高2．解决优化问题的基本思路函数；导数跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．1．函数y＝的最大值为( )A．e－1 B．e C．e2 D．102．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．3．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．参考答案：知识梳理1．解析：(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√学习过程二、新知探究探究1：极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)问题1：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．二、典例解析例6:解：因为令0,解得：又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-.
跟踪训练1.[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝，又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±.∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－，f＝－＋.又f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.例7:解：（1）函数的定义域为因为令0,解得：、的变化情况如表所示
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。当时，有极小值=（2）令=0，解得：当时，0;当时，0.所以的图像经过特殊点A(),B,C.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而当时，,根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。由（1）及图可得，当时，有最小值所以，方程=的解得个数有如下结论；当
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