人教版高中数学选择性必修第三册5.2.3《简单复合函数的导数》（导学案） (含答案)

5.2.3简单复合函数的导数导学案1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．y＝f(g(x))思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于________________________________．y′u·u′x;y对u的导数与u对x的导数的;乘积1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx．(  )(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝．(  )(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．(  )2．函数y＝的导数是(  )A．    B．C．－D．－3．下列对函数的求导正确的是(  ) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝C．y＝cos，则y′＝sinD．y＝22x－1，则y′＝22xln2一、新知探究探究1.如何求若求的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2.如何求探究3：求函数三、典例解析例6.求下列函数的导数（1）（2）(3)1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤 跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.例7某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式.求函数在时的导数，并解释它的实际意义。跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝cos；(2)y＝x2＋tanx.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(  )A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－12．函数y＝x2cos2x的导数为(  )A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．5．求下列函数的导数：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x.6.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法则可以推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．参考答案：知识梳理1．[提示] (2)中f′(x)＝.(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案] (1)√ (2)× (3)×2．C [∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin，∴C错误；D中y′＝22x－1ln2×(2x－1)′＝22xln2.故D正确．]学习过程一、新知探究探究1.解析：方法一：=探究2.分析：函数初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点 如果过程可表示为探究3：分析：令,得以表示对的导数，表示对的导数，一方面，==22另一方面=，=2可以发现二、典例解析例6.解：（1）函数==3=（2）函数=== （3）函数===跟踪训练1[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)∵(ln3x)′＝×(3x)′＝.∴y′＝＝＝.例7解：可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有===当=3时，它表示当=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s跟踪训练2[思路探究] 先将给出的解析式化简整理，再求导． [解] (1)∵y＝cos＝cossin－cos2＝sinx－(1＋cosx)＝(sinx－cosx)－，∴y′＝＝(sinx－cosx)′＝(cosx＋sinx)．(2)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋＝2x＋＝2x＋.达标检测1．[答案] A2．B [y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]3． [f′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f′(1)＝＝.]4．－ [∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－.根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－.]5．[解] (1)令u＝3x－2，则y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.(3)y′＝(x)′＝＋x()′＝＋＝.6.解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|＝＝2，解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.