人教版高中数学选择性必修第三册5.3.1《函数的单调性》(2)导学案 (含答案)

5.3.1函数的单调性(2)导学案1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．2．探究函数增减的快慢与导数的关系．3.学会处理含参函数的单调性问题重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大__比较“____”(向上或向下)越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭;慢;平缓 探究1.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3.求函数的单调区间.如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2e－x.探究2：例4.设例5.设g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)； (3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练2．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．1．求函数f(x)＝的单调区间．2.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．参考答案：知识梳理学习过程一、新知探究二、典例解析例3.解：函数的定义域为R，对f(x)求导，得 令0,解得：，在各区间上的正负，以及单调性如表所示。所以，f(x)在在上单调递增，在单调递减。如图所示如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？跟踪训练1[解] (1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)↘f(0)＝0↗f(2)＝↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．探究2：分析分析 例4.解：因为所以,,当x=1时，当00，(x－2)2>0.由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)