8.3分类变量与列联表（精练）【题组一列联表】1．（2020·全国）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，利用2×2列联表进行检验，经计算K2的观测值k＝7.069，参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过（）P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.001B．0.01C．0.99D．0.999【答案】B【解析】k＝7.069＞6.635，对照表格，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过0.01，故选：B.2．（2020·全国高二单元测试）在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是（）说谎不说谎合计男6713女8917合计1416300.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关
C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【答案】D【解析】由表中数据得≈0.00242b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以下的多，即b>d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．故选：ABD.8．（多选）（2021·全国高二专题练习）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020
女4010附表：P（K2≥k）0.1000.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附：以下说法正确的有（）A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系【答案】AC【解析】因为男女比例为4000︰5000，故A正确．满意的频率为，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667，所以B错误．由列联表，故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系，所以C正确，D错误．故选：AC.【题组二独立性检验】1．（2021·安徽芜湖市）“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的.（1）填写列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？男生女生合计
2020年在直播平台购物2020年未在直播平台购物合计（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为，求的分布列与期望.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828附：，.【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）列列联表：男生女生合计2020年在直播平台购物4035752020年未在直播平台购物20525合计6040100.故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为，则，且，，故，且，
，，，.所以的分布列为-4-2024，，即2．（2021·安徽高二期末）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的.年龄(单位：岁)调查人数5m1510n5使用消费券人数51012721（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计使用消费券人数未使用消费券人数
合计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.（2）从使用消费券且年龄在与的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，记抽取的两人中年龄在的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）由题意得解得；由以上统计数据填写下面列联表，如下年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计使用消费券人数271037未使用消费券人数31013合计302050根据公式计算，所以有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关：（2）由题意知抽取的6人中年龄在的有2人，年龄在的有4人，所以X的可能取值为.且，
所以X的分布列为X012P.3．（2021·江西新余市·高二期末（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.（1）某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）满足回归直线方程，数据统计如下：志愿者人数（人）23456日垃圾分拣量（千克）25304045已知，，，根据所给数据求和回归直线方程..附：，.（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.①若被调查的男性居民人数为人，请完成以下2×2列联表：性别类型喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计男性女性合计
②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人?附，，0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），；（2）①2×2列联表见解析；②20【解析】（1）根据表中数据可知，解得，，，，所以回归直线方程为；（2）①根据题意可得2×2列联表如下：喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计男性女性合计②在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，
，解得，故的最小值为20，所以被调查的女性居民至少20人.4（2021·云南曲靖市）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：）（其中）【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布列见解析，.【解析】(1)根据题意及列联表可得完整的列联表如下:35岁以下(含35岁)35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050
合计5050100根据公式可得，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.(2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为，则的可能为1，2，3，且，其分布列为123.5．（2021·江西高二期末）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计
甲培育法20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828（参考公式：，其中．）【答案】（1），82.5；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】（1）由，解得．令得分中位数为x，由，解得．故综合评分的中位数为82.5．（2）由（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，则，；；；．其分布列为：X0123
P所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望．（3）结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得．所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．6.（2020·四川成都市）一网络公司为某贫困山区培养了名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这名“乡土直播员”中每天直播时间不少于小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面列联表：网红乡土直播员乡土直播达人合计男104050女203050合计3070100（1）根据列联表判断是否有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取人，在这人中选人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望．附：，其中．
【答案】（1）有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为．【解析】（1）由题中列联表，可得．∴有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为人；女性人数为人．由题，随机变量所有可能的取值为，，．，，，∴的分布列为012∴的数学期望．7．（2020·山东济南市）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：得分男性人数15901301001256030
女性人数1060701501004020（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求；（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从得分不低于分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取名.再从这人中随机抽取人，求抽取的人中男性人数的分布列及数学期望.参考数据：①；②若，则，，；③，【答案】（1）；（2）列联表答案见解析，有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关；（3）分布列详见见解析，数学期望：.【解析】（1）由题意知：，又，，所以.
（2）由题意得列联表如下：不太了解比较了解合计男性235315550女性140310450合计3756251000，所以有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.（3）不低于分的被调查者的男女比例为，所以采用分层抽样的方法抽取人中，男性为人，女性为人.设从这人中随机抽取的人中男性人数为，则的取值为，，，，所以随机变量的分布列为所以其期望8．（2020·四川师范大学附属中学）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：成绩上升成绩没有上升合计
有家长督促的学生500800没有家长督促的学生500没有家长督促的学生2000（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到）说明，是否有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，再从人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到名成绩上升的学生得分，抽到名成绩没有上升的学生得分，抽到名生的总得分用表示，求的分布列和数学期望．附：【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200没有家长督促的学生12008002000
有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．（2）从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出人，其中成绩上升的有人，成绩没有上升的有人，再从人中随机抽取人，随机变量所有可能的取值为的分布列如下：-3-1189．（2020·全国高二专题练习）景泰蓝（），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：每月完成合格品的件数频数10453564女员工人数3221753（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；
非“工艺标兵”“工艺标兵”总计男员工人数女员工人数合计（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12件），每件支付员工200元，超出的部分，每件支付员工220元，超出的部分，每件支付员工240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】（1）列联表如下：非“工艺标兵”“工艺标兵”总计男员工人数48250女员工人数42850合计9010100，所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．
（2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，男员工实得计件工资超过3320元的概率，女员工实得计件工资超过3320元的概率．设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为，随机抽取的女员工中实得计件工资超过3320元的人数为，则．由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以随机变量的分布列为0123所以.10．（2020·广东广州市）某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示：等级优秀良好要加油得分频数127236
（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在，，内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？是否优良性别优良非优良总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为，求的分布列及数学期望．附表及公式：，其中．P（）0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）表格见解析，没有以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；（2）分布列见解析，8.【解析】（1）解：依题意，完成下面的列联表：是否优良性别优良非优良总计男生401656女生442064总计8436120.故没有以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.
（2）解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取1人，6人，3人.现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和的可能取值为15，10，5，0.，，所以的分布列为：151050所以.11．（2020·湖南高三月考）某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女员工男员工合计（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有人，女员工有人，求随机变量的分布列与数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】1）由题意得：2×2列联表如下：属于“追光族"属于“观望者"合计女员工2810男员工10818合计121628，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人，所以可能的取值有，，，，的分布列为：024的期望.12．（2020·全国高三专题练习）某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度.其中售前服务的满意率为，售后服务的满意率为，对售前服务和售后服务都不满意的客户有20人
（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；对售后服务满意人数对售后服务不满意人数合计对售前服务满意人数对售前服务不满意人数合计（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数的分布列和期望，附：，.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】（1）由题意知对售前服务满意的有人，对服务不满意的有人，所以，补全列联表如下：对售后服务满意人数对售后服务不满意人数合计对售前服务满意人数18080260对售前服务不满意人数202040合计200100300经计算得，
所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关.（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为，只有一项满意的客户保有的概率为，对二者都不满意的客户保有的概率为.所以，从系统中任选一名客户保有的概率为，故，，，，，所以的分布列为：.【点睛】此题考查独立性检验、二项分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查分析问题的能力.本题第二问解题的关键在于根据保有率计算得到系统中任选一名客户保有的概率为，进而得到，属于中档题
微信/支付宝扫码支付