人教版高中数学选择性必修第三册6.3《二项式定理》同步精讲（解析版）

6.3二项式定理（精讲）思维导图 常见考法 考法一二项式定理展开式【例1】(1)求的展开式为．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知，则的值为【答案】（1）＋＋54＋108x＋81x2【解析】（1）方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.（2）由得则 ，即，解得.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　)A．(2x+2)5B．2x5C．(2x-1)5D．32x5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简.故选D.2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：_________.【答案】【解析】则所以故答案为：.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x-)10的展开式中，x6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）的有理项共有项【答案】（1）9（2）70（3）6【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系数为(-)4=9（2）二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：70 （3）的通项公式为：，，，，所以有理项共有6项，故选：C【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：令可得，此时.2.（2021·上海青浦区）在二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是，当时，.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若的展开式中的系数为7，则实数=______.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式可得：，令，可得，，解得：，故答案为：4．（2020·梁河县）已知的展开式的常数项是第7项，则________.【答案】8 【解析】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则，故.故答案为：8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）的展开式中常数项是（）A．-252B．-220C．220D．252（2）．（2021·四川成都市）若的展开式中常数项为，则（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）C【解析】(1）由，可得二项式的展开式通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故选：A.（2）的展开式的通项公式为：，显然，为奇数，若求展开式的常数项，，解得故的展开式的常数项等于：故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）展开式中常数项为（）.A．11B．C．8D．【答案】B【解析】将看成一个整体，展开得到：的展开式为：取 当时，系数为：当时，系数为：常数项为故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）的展开式中常数项为()A．B．C．D．【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令;令;故所求常数项为，故选C.3．（2020·河南商丘市）的展开式的常数项为（）A．6B．10C．15D．16【答案】D【解析】由题意得的展开式的通项为，令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.4．（2020·高二月考）在的展开式中，x2项的系数为（）A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B. 5．（2020·全国高二专题练习）若的展开式中的系数为，则等于（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为根据二项式定理展开式通项为,的通项为令解得所以的项为令解得所以的项为综上可知,的系数为解得故选:D考法四二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）的展开式中二项式系数最大的项是（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式的展开式中，系数最大的项为（）.A．第五项B．第六项C．第七项D．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳高二开学考试）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A．B．C．D．【答案】（1）BC（2）BC（3）D 【解析】(1）因为n＝11为奇数，所以展开式中第项和第项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960B．1120C．-560D．-960【答案】B【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•（﹣1）r•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为•24•（﹣1）4=1120，故选B．2．（2021·湖南常德市）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A．B．C．10D．20【答案】C【解析】由已知，当时，即，所以展开式中常数项为，故选. 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）A．7B．8C．9D．10【答案】ABC【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9故选：ABC.4．（2020·全国高二课时练习）已知展开式中各项系数的和为m，且，求展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】59136【解析】设，令，得，所以，则展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，．因为令，得，所以常数项为．考法五二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若.求：（1）； （2）；（3）.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令，可得，∴．①（2）令可得，∴．②由①②得，∴．（3）由题意得二项式展开式的通项为，∴每项的系数，∴．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.【答案】【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为，令可得所有项的系数之和为，故答案为：，2．（2020·全国高二单元测试）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝【答案】1【解析】令，得，令，得， .故选：A.3．（2020·福建厦门市·高二期中）已知，则_____.【答案】【解析】对等式两边求导，得，令，则.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n；（2）求;（3）求..【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，（2）（3）令，得，令，得，故.考法六二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）的计算结果精确到0.01的近似值是_________ 【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）即除以100的余数为．故答案为：．（2）故答案为：【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知能够被15整除，则________.【答案】14【解析】由题可知，所以，而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·高二期中）被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为，所以转化为求被除所得的余数，因为，所以被除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故选B