人教版高中数学选择性必修第三册8.3《分类变量与列联表》同步精讲（解析版）

8.3分类变量与列联表（精讲）思维导图常见考法考法一列联表 【例1】（1）（2020·全国高二课时练习）某村庄对该村内名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人年轻人合计已知抽取的老年人、年轻人各名，则对列联表数据的分析错误的是（）A．B．C．D．（2）．（2021·河南信阳市）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：未发病发病总计未注射疫苗20注射疫苗30总计5050100附表及公式：，．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断错误的是（）A．注射疫苗发病的动物数为10B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为 C．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效D．该疫苗的有效率为75%【答案】（1）D（2）D【解析】（1）由题意得，，，，，，所以，，，，，则.故选：D．（2）由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只，补充列联表，未发病发病总计未注射疫苗204060注射疫苗301040总计5050100由此可得A、B正确．计算得：，故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．C正确，D错误．故选：D．【一隅三反】1．（2020·全国）现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文D．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；男生偏爱两理一文，故C正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误.故选：D.2．（2021·安徽蚌埠市）某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：男女喜欢篮球4020不喜欢篮球2030附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”C．有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”D．有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”【答案】C【解析】由题意，，因此有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”．故选：C．3．（2021·江苏常州市）年月日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗(细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病().年月 日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第场例行新闻发布会，表示不在岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的人进行了临床试验，得到如下列联表：能接种不能接种总计岁内岁外总计附：，其中；参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”C．有以上的把握认为“能接种与年龄段无关”D．有以上的把握认为“能接种与年龄段有关”【答案】D【解析】由列联表可得由所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“能接种与年龄段有关”即有以上的把握认为“能接种与年龄段有关故选：D4．（2020·全国）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生452065 不愿生132235总计5842100由，得.参照下表，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【答案】C【解析】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选：C.考点二独立性检验【例2】（2020·广西）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人.（1）求p和n的值；（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“ 读书之星”与性别有关？非读书之星读书之星总计男女1055总计（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），；（2）填表见解析；没有；（3）人.【解析】（1），解得：，所以.（2）因为，所以“读书之星”有，从而列联表如下图所示：非读书之星读书之星总计男301545女451055总计7525100将列联表中的数据代入公式计算得，因为，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关. （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为.由题意可知，所以（人）.【一隅三反】1．（2021·江苏南通市）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区位居民的日行步数，得到如下表格：日行步数（单位：千步）人数（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过千步为标准进行分层抽样，从上述位居民中抽取人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；日行步数千步日行步数千步总计岁以上岁以下（含岁）总计（2）以这位居民日行步数超过千步的频率，代替该地区位居民日行步数超过千的概率，每位居民日行步数是否超过千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了位居民，其中日行步数超过千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?附：，其中.【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；（2）最有可能是 位居民.【解析】（1）人中，步数不超过千步的有人，超过千步有人，按分层抽样，抽取的人数中不超过千步的有人，超过千步的有人，列联表如下：日行步数千步日行步数千步总计岁以上岁以下（含岁）总计故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关.（2）每位居民步数超过千的概率为，设步数超过千的最有可能是位居民，，，，，即最有可能是位居民.2．（2021·江苏南通市·高二期末）为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀学习成绩一般总计（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，记这人中“学习成绩优秀”的人数为，试求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，.【解析】（1）列联表如下表所示：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀学习成绩一般总计假设学生的学习成绩与使用手机无关，，所以，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）人中学习成绩优秀的人有人，学习成绩一般的有人，可能的取值有、、、，，，，.所以，随机变量的分布列为. 3．（2021·安徽）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于岁的人数占总人数的.年龄（单位：岁）调查人数使用消费券人数（1）求、值；（2）若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数合计使用消费券人数未使用消费券人数合计参考数据：，其中.【答案】（1），；（2）列联表答案见解析，有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.【解析】（1）由题意得，解得，；（2）由以上统计数据填写下面列联表，如下 年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数合计使用消费券人数未使用消费券人数合计根据公式计算，所以有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.4.（2021·安徽六安市·）某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．不小于60元小于60元合计男40女18合计90（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．参考公式及数据：，附表：0.1500.1000.0500.0100.005 2.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．（2）X可能取值为65，70，75，80，且．由题意知：，，，，所以X的分布列为X65707580.