8.1成对数据的相关关系（精讲）思维导图
常见考法考法一相关关系【例1】（1）（2020·全国高二单元测试）对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做（）A．函数关系B．线性关系C．相关关系D．回归关系（2）（2020·全国高二单元测试）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定（）A．x与y正相关，u与v正相关B．x与y正相关，u与v负相关C．x与y负相关，u与v正相关D．x与y负相关，u与v负相关【答案】（1）C（2）C【解析】（1）对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系.故选：C.（2）由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关．故选：C．
【一隅三反】1．（2020·武威第八中学）下列两变量具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积【答案】B【解析】对选项A，设正方体的体积，边长，则，它们之间的关系是函数关系，故A不正确；对选项B，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故B正确．对选项C，匀速行驶车辆的行驶距离与时间的关系为，其中为匀速速度，它们之间的关系是函数关系，故C不正确；对选项D，设球的半径为，则球的体积为，它们之间的关系是函数关系，故D不正确；故选：B．2．（2020·银川市·宁夏大学附属中学）给出下列关系：其中具有相关关系的是（）①考试号与考生考试成绩；②勤能补拙；③水稻产量与气候；④正方形的边长与正方形的面积.A．①②③B．①③④C．②③D．①③【答案】C【解析】考试号只是确定考生考试的位置与考试成绩无关，则①错误；勤能补拙具有相关关系，水稻产量与气候具有相关关系，则②③正确；正方形的边长与正方形的面积是函数关系，则④错误；故选：C3．（2021·广东深圳）下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（）A．B．
C．D．【答案】D【解析】A.两个变量之间是函数关系，不是相关关系，故错误；B.样本点成直线形带状分布，呈下降趋势是负相关，故错误；C.样本点不成直线形带状分布，故错误；D.样本点成直线形带状分布，呈上升趋势是正相关，故正确；故选：D.考点二样本的相关系数【例2-1】（2020·吴起高级中学）甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：甲乙丙丁-0.78则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】，且相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.故选：D【例2-2】（2020·重庆九龙坡区·渝西中学）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821
销量（万盒）1122.53.53.54.56（1）求与的相关系数（精确到，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．【答案】（1）0.98，可用线性回归模型拟合；（2）.【解析】（1）由题意可知，，由公式，，与的关系可用线性回归模型拟合．（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为：，，，由题意，，
．【一隅三反】1．（2021·湖南长沙市·高三月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，，…，下列说法错误的是（）A．相关系数越接近1，变量相关性越强B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化【答案】B【解析】对于A.根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故正确；对于B.回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数或相关系数判定，故不正确；对于C.相关指数越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；对于D.根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故正确；故选：B2．（2020·广西钦州市）在线性回归模型中，分别选择了甲，乙，丙，丁四个不同的模型，它们的相关指数分别为0.46，0.85，0.72，0.93，其中回归效果最好的模型是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】因为两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数越接近于1，这个模型的拟合效果越好，而丁的相关指数0.93最大，所以回归效果最好的模型是丁，故选：D3．（2020·黑山县黑山中学）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：12345
2.42.74.16.47.9（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率．②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由附：相关系数公式参考数据：．【答案】（Ⅰ），可用线性线性回归模型拟合；（Ⅱ）①；②希望顾客参加抽奖，理由见解析．【解析】（Ⅰ）由题可知：则故与的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合．（Ⅱ）顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．
设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则,所以,由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为,由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖.4．（2020·湖南高二期中）湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级ABCDE比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间生物学科各等级对应的原始分区间现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据，请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.等级ABCDE原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：，，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）附3：，，.【答案】（1）政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；（2）甲、乙两位同学的转换分都为87分；（3）；答案见解析.【解析】（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73.（2）甲同学选考政治学科的等级为A，由转换赋分公式：，得.乙同学选考生物学科的等级A，由换赋分公式：，得.故甲、乙两位同学的转换分都为87分.（3）因为，，
所以.
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