6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精讲）思维导图
常见考法考点一分类加法计数原理【例1】（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个A．98B．56C．84D．49
【答案】A【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.当公差为时，数列可以是：，共1种情况.总的情况是.又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有个.故选：A【解题思路】分类计数原理解题思路1.根据题目特点恰当选择一个分类标准．2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．3.分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏【一隅三反】1．（2020·重庆高二期末）完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．45种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，故选：C.2．（2020·
陕西高二期末（理））李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；所以李明需要配送的天数为，所以整个月李明不用去配送的天数是.故选：B.3．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）A．16种B．12种C．9种D．6种【答案】B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.
考点二分步乘法计数原理【例2】（2020·安徽高二开学考试）某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（）种A．165B．286C．990D．1716【答案】D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D【方法总结】(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．【一隅三反】1．（2021·南宁市银海三美学校高二月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（）A．280B．180C．96D．60【答案】B【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；第2步，B区域有4种颜色可选；第3步，C区域有3种颜色可选；第4步，D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.2．（2020·古丈县第一中学高二月考）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，每名旅客可选择方案有3种，因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是.故选：B.3．（2020·湖南省长沙县第九中学高二期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（）A．10个B．12个C．16个D．20个【答案】C【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．故选：C．4．（2020·湖北车城高中高二月考）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）A．720种B．1440种C．2880种D．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：种.故选：D.考点三两个计数原理综合运用【例3】（2021·三亚华侨学校高二考试）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．【答案】【解析】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，2个班为高一和高二各一个班有，2个班为高二和高三各一个班有，2个班为高三和高一各一个班有，所以不同的选法共有.故答案为：.【方法总结】两种计数原理选择思路①分清要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏．【一隅三反】1．（2021·北京市鲁迅中学高二月考）如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
【答案】260【解析】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，所以不同的种植方案共有种，故答案为：2602．（2021·山西）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.【答案】85【解析】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数.故这三人出游的不同方法数.故答案为：853．（2021·沙坪坝·）某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（）A．24种B．36种C．48种D．72种【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，
此时高一的安排方法有种，高二的选法有种，则此时有种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有种安排方法，则此时有种安排方法；故有种安排方法；安排方案的种数有12+24=36故选：B．
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