人教版高中数学选择性必修第三册6.2.2《组合及组合数》同步精讲（解析版）

6.2.2组合及组合数（精讲）思维导图 常见考法考法一组合的概念【例1】（2020·广东湛江高二单元测试）给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（） A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地【答案】C【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（）①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数A．①④B．①②C．④D．①③④【答案】A【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：A.考法二组合数【例2】（1）（2020·广东云浮·高二期末）（）A．B．C．D．（2）（2020·湖北高二期末）满足条件的自然数有（）A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】（1）D（2）C【解析】（2）．故选：D.（2）由得，即，又，且，所以.故选：C.组合数的两个性质：（1）；（2）． 【一隅三反】1．（2020·陕西高二期末）若，则n等于（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】根据题意，变形可得，；由组合性质可得，，即，则可得到.故选：B.2．（2020·林芝市第二高级中学高二期中）已知，那么（）A．20B．30C．42D．72【答案】B【解析】答案选B3．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（）．A．11B．10C．9D．8【答案】D【解析】设，则，又，，，由得：，，，，，的值为.故选：.4．（多选）下列等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A.，故正确； B.，故正确；C.，故错误；D.，故正确.故选：ABD5．（多选）（2020·江苏省丰县中学高二期末）如下的四个命题中真命题的标号为（）A．B．C．D．的展开式中二项式系数最大的项是【答案】BCD【解析】由于，故A错误；由组合数的性质：，，故B正确；，故C正确；的展开式中二项式系数最大的项是，故D正确.故选：BCD考法三组合应用【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员． 【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C种选法；第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步计数原理可得，共有C·C＝120(种)选法．(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．(3)方法一 (直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2C＋C＝196(种)选法．方法二 (间接法)从10人中任选5人有C种选法，其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．【方法总结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【一隅三反】1．（2020·江苏金湖中学）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？ 【答案】(1)；(2).【解析】(1)从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.当取红球个时，取法有种；当取红球个和白球个时，.取法有种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.(2)使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.第一种，红球个和白球个，取法有种;第二种，红球个和白球个，取法有种,根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.2．（2020·云南省保山第九中学）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．（2020·江苏高二）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.【答案】（1）共有(种)选法；（2）246；（3）191.【解析】⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.共有(种)选法.⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种).