人教版高中数学选择性必修第三册学案：8.3《列联表与独立性检验》(含解析)

§8.3　列联表与独立性检验学习目标　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．知识点一　分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．知识点二　2×2列联表1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．知识点三　独立性检验1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.3．独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．思考　独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？答案　不是．因为反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生．1．分类变量中的变量与函数的变量是同一概念．(　×　) 2．等高堆积条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中χ2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．(　√　)3．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　×　)4．χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．(　√　)一、等高堆积条形图的应用例1　为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：组别尿棕色素合计阳性数阴性数铅中毒病人29736对照组92837合计383573试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？解　等高堆积条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．反思感悟　等高堆积条形图的优劣点(1)优点：较直观地展示了与的差异性．(2)劣点：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．跟踪训练1　网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆积条形图判断学生学习成绩与经常上网有关吗？解　根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： 学习成绩上网合计经常不经常不及格80120200及格120680800合计2008001000得出等高堆积条形图如图所示：比较图中阴影部分高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为学习成绩与经常上网有关．二、由χ2进行独立性检验命题角度1　有关“相关的检验”例2　某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析喜欢体育还是文娱与性别是否有关系．性别喜欢合计体育文娱男生212344女生62935合计275279解　零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝＝≈8.106>7.879＝x0.005.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关．反思感悟　用χ2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系．(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．跟踪训练2　甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件个数y甲37893乙7444a由表中数据得y关于x的经验回归方程为＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸为1.03±0.01(cm)．完成下面列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析加工零件的质量与甲、乙是否有关．机床加工零件的质量合计合格零件数不合格零件数甲乙合计解　＝1.03，＝，由＝－91＋100x，知＝－91＋100×1.03，所以a＝11.由于合格零件尺寸为1.03±0.01cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：机床加工零件的质量合计合格零件数不合格零件数甲24630乙121830合计362460零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙无关．则 χ2＝＝＝10，因为χ2＝10＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立．即认为加工零件的质量与甲、乙有关．命题角度2　有关“无关的检验”例3　下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：知道想学专业不知道想学专业合计男生63117180女生4282124合计105199304根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)①性别与知道想学专业有关；②性别与知道想学专业无关；③女生比男生更易知道所学专业．答案　②解析　χ2＝≈0.041≤2.706＝x0.1，所以性别与知道想学专业无关．反思感悟　独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．跟踪训练3　某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系． 解　(1)2×2列联表如下表所示：教师年龄对新课程教学模式合计赞同不赞同老教师101020青年教师24630合计341650(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．由公式得χ2＝≈4.9633.841＝x0.05.∴犯错误的概率不超过0.05.3．(多选)若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(　　)A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有答案　AD解析　独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生．4．根据如图所示的等高堆积条形图可知喝酒与患胃病________关系．(填“有”或“没有”)答案　有解析　从等高堆积条形图上可以明显地看出喝酒患胃病的频率远远大于不喝酒患胃病的频率．5．某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：能按时完成销售任务不能按时完成销售任务合计具有相关大学学历574299不具有相关大学学历3665101合计93107200根据上述数据能得出结论：有________以上的把握认为“ 销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．答案　99%解析　由公式χ2＝，得χ2＝≈9.67.因为9.67>6.635＝x0.01，所以有99%以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．1．知识清单：(1)分类变量．(2)2×2列联表．(3)等高堆积条形图．(4)独立性检验，χ2公式．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)答案　D解析　观察等高堆积条形图易知D选项两个分类变量之间关系最强．2．(多选)给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有(　　)A．两种药物治疗同一种病是否有区别B．吸烟者得肺病的概率C．吸烟是否与性别有关系D．网吧与青少年的犯罪是否有关系 答案　ACD解析　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而B是概率问题，故选ACD.3．为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则所得到的统计学结论是认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”的把握约为(　　)A．0.1%B．0.5%C．99.5%D．99.9%答案　C解析　因为χ2＝8.01>7.879＝x0.005，所以认为性别与喜欢乡村音乐有关系的把握有99.5%.4．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：年龄饮食习惯合计偏爱蔬菜偏爱肉类50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　)A．95%B．99%C．99.5%D．99.9%答案　C解析　因为χ2＝＝10>7.879＝x0.005，所以有99.5%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．5．考察棉花种子处理情况跟生病之间的关系得到下表数据：种子种子合计处理未处理得病32101133不得病61213274合计93314407根据以上数据，可得出(　　)A．种子是否经过处理跟生病有关B．种子是否经过处理跟生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错误的答案　B解析　由χ2＝≈0.1643.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为__________．答案　5%解析　因为χ2>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为5%. 9．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段29～4041～5051～6061～7071～8081～9091～100午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173(1)根据上述表格完成列联表；人数合计及格人数不及格人数午休不午休合计(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？解　(1)2×2列联表如下表所示：人数合计及格人数不及格人数午休80100180不午休65135200合计145235380(2)计算可知，午休的考生及格率为P1＝＝.不午休的考生的及格率为P2＝＝，由P1>P2，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：性别打篮球合计喜爱不喜爱男生6女生10合计48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．解　(1)列联表补充如下：性别打篮球合计喜爱不喜爱男生22628女生101020合计321648(2)零假设H0：喜爱打篮球与性别无关，由χ2＝≈4.286>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱打篮球与性别有关．(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.其概率分别为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的分布列为X012PX的均值为E(X)＝0＋＋＝1.11．(多选)下列关于回归分析与独立性检验的说法不正确的是(　　)A．回归分析和独立性检验没有什么区别 B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定关系C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系答案　ABD解析　由回归分析及独立性检验的特点知，选项C正确．12．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是(　　)A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038和0.006B．男、女患色盲的概率分别为，C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，可以认为患色盲与性别是有关的D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关答案　C解析　男人中患色盲的比例为＝，要比女人中患色盲的比例＝大，其差值为≈0.0676，差值较大，故认为患色盲与性别是有关的．13．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)表1性别成绩合计不及格及格男61420女102232合计163652表2性别视力合计好不好男41620女122032合计163652 表3性别智商合计偏高正常男81220女82432合计163652表4性别阅读量合计丰富不丰富男14620女23032合计163652A.成绩B．视力C．智商D．阅读量答案　D解析　因为χ＝＝，χ＝＝，χ＝＝，χ＝＝，则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．14．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：年龄西班牙队合计不喜欢喜欢高于40岁pq50不高于40岁153550 合计ab100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝.临界值表：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案　95%解析　设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A，由已知得P(A)＝＝，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝＝≈4.167>3.841＝x0.05.故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．15．(多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下所示：XY合计Y1Y2X1a20－a20X215－a30＋a45合计155065其中a,15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为(　　)A．6B．7C．8D．9答案　CD解析　由题意可知χ2＝ ＝>3.841，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．16．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：态度性别合计男性女性反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．附：χ2＝.解　(1)态度性别合计男性女性反感10616不反感6814合计161430零假设为H0，反感“中国式过马路”与性别无关，由已知数据得χ2＝≈1.158＜2.706＝x0.1.所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X012PX的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.