人教版高中数学选择性必修第三册学案：6.3.2《二项式系数的性质》(含解析)

6.3.2　二项式系数的性质课标要求素养要求1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1.二项式系数的性质在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性．对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝ 增减性与最大值增减性：当k＜时，C随k的增大而增大；由对称性可知，当k＞时，C随k的增大而减小.最大值：当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①2n＝C＋C＋C＋…＋C②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和拓展深化[微判断]1．二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(×)提示　二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．2．二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(×)提示　在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．3．二项展开式项的系数是先增后减的．(×)提示　二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关．[微训练]1.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　)A．第8项B．第9项C．第8项和第9项D．第11项和第12项 答案　D2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)A．第6项B．第5项C．第5，6项D．第6，7项解析　由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．答案　A3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________．解析　由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝C·22＝180.答案　180[微思考]怎样求二项式系数和？提示　利用赋值法，在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，可得C＋C＋…＋C＝2n.题型一　二项式定理的应用【例1】　(1)试求199510除以8的余数；(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解　199510＝(8×249＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.(2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82　①.①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．规律方法　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【训练1】　已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．证明　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．题型二　二项展开式的系数的和问题【例2】　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解　令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【迁移1】　(变换所求)例2条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解　∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5， 即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【迁移2】　(变换所求)例2条件不变，求a1＋a3＋a5的值．解　由上题得两式相减得a1＋a3＋a5＝×(1－243)＝－121.规律方法　(1)赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．(2)一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．【训练2】　已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x)8＝C＋C×(－3x)＋C×(－3x)2＋…＋C×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.题型三　二项式系数性质的应用【例3】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解　令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C3·(3x2)2＝90x6，T4＝C2·(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项为Tk＋1＝C·3k·x(5＋2k)，假设Tk＋1项系数最大，则有∴即∴≤k≤.∵k∈N，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.规律方法　(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．【训练3】　求出(x－y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和．解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.(2)(x－y)11展开式的通项为Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，∴项的系数的绝对值为|C·(－1)k|＝C，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.(5)令x＝y＝1，得展开式中各项系数的和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理素养、数学运算素养．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}.二、素养训练1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第(n＋1)项与第(n＋2)项．故选C.答案　C2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)A．－2B．－1C．1D．2解析　令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案　A3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为__________．解析　(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中x2的系数为C＋C＋C＋C＋C＝35.答案　354．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则 ＝__________．解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，两式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.答案　－5．已知(2x－1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．解　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.基础达标　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)A．210B．252 C．462D．10解析　由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx30－5k.令30－5k＝0，得k＝6，于是得其常数项为C＝210.答案　A2．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)A．1B．±1C．2D．±2解析　由条件知2n＝32，即n＝5，在通项Tk＋1＝C()5－k＝Cakx中，令15－5k＝0，得k＝3.所以常数项为Ca3＝80，解得a＝2.答案　C3．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是(　　)A．2048B．－1023C．－1024D．1024解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1024，即为所求系数之和．答案　D4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　)A．10B．45C．－9D．－45解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45.答案　B 5．设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)A．－150B．150C．300D．－300解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展开式的通项为Tk＋1＝C(5x)4－k·＝(－1)k54－kCx4－k，令4－＝1，得k＝2，所以展开式中x的系数为(－1)2×52C＝150.答案　B二、填空题6．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是__________．解析　(1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.答案　67．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是__________．解析　展开式的各项系数为其二项式系数．∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.答案　4628．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋ a11)＝__________．解析　令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.答案　7三、解答题9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解　(1)令x＝0，则a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②与①式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100，即|a0|＋|a1|＋…＋|a100|＝(2＋)100.10．已知展开式的二项式系数之和为256. (1)求n；(2)若展开式中常数项为，求m的值；(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．解　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第k＋1项，则Tk＋1＝Cx8－k＝Cmkx8－2k，故8－2k＝0，即k＝4，则Cm4＝，解得m＝±.(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大．则，化简可求得≤k≤.由于只有第6项和第7项系数最大，所以即所以m只能等于2.能力提升11．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)A．10B．20C．30D．120解析　由2n＝64，得n＝6，∴展开式的通项Tk＋1＝Cx6－k·＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.答案　B12．在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．解　在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512.偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512.(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10.令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.　①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.　②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为.创新猜想13．(多选题)下列关于(a－b)10的说法，正确的是(　　)A．展开式中的二项式系数之和是1024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析　由二项式系数的性质知二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024，故A正确；二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确；由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确． 答案　ABD14．(多空题)(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为__________．解析　令展开式左、右两边x＝1，得各项系数的和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.答案　1　64