人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.2《离散型随机变量及其分布列》第二课时(含解析)

第二课时　离散型随机变量的分布列及两点分布课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.通过研究离散型随机变量的分布列及其性质，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．问题　你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？提示　通过学习本节课的离散型随机变量的分布列及其性质，我们可以很快解决此类问题．1．离散型随机变量的分布列离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X 的分布列，称为X的概率分布图．2．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.3．两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．拓展深化[微判断]1．在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)提示　概率必须满足pi≥0才行．2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)提示　在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)[微训练]1．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：X1234Pp 则p的值为(　　)A.B.C.D.解析　由分布列的性质，知＋＋＋p＝1，故p＝.答案　C2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)＝__________．解析　P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.答案　[微思考]1．抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？提示　X的取值有1，2，3，4，5，6，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝.2．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？提示　是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的.题型一　求离散型随机变量的分布列【例1】　为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号12345x169178166177180y7580777081如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．解　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝0.3，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.1.∴优等品数X的分布列为X012P0.30.60.1规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列．【训练1】　某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．解　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故其分布列为X1234P题型二　分布列的性质及其应用【例2】　设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．解　由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列|X－1|0123P0.10.30.30.3规律方法　离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．【训练2】　(1)已知离散型随机变量X的分布列为X123…n P…则k的值为(　　)A.B．1C．2D．3解析　由＋＋…＋＝1，得＝1，即k＝1.答案　B(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X≥2)＝__________．解析　由已知得随机变量X的分布列为X123P∴＋＋＝1，∴k＝.∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝.答案　题型三　两点分布【例3】　袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列．解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝.所以随机变量X的分布列为X01 P规律方法　两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．【训练3】　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝.所以随机变量X的分布列为X01P一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．二、素养训练 1．已知随机变量X的分布列如下：X12345678910Pm则P(X＝10)等于(　　)A.B.C.D.解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.答案　C2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)X－101PabcA.B.C.D.解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.答案　D3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234 P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是(　　)A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3解析　易得a＝0.1，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.7，P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故C错误．答案　C4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P1－2qq2则P(X≤0)＝__________．解析　由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－，q＝1＋(舍去)．P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋1－2×＝－.答案　－5．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c试求出离散型随机变量X的分布列．解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或. 检验：当c＝时，9c2－c＝9×－＝＞0，3－8c＝3－＝＞0；当c＝时，9c2－c＝9×－＞1，3－8c＝3－＜0(不适合，舍去)．故c＝.故所求分布列为X01P基础达标一、选择题1．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X