人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.3.1《离散型随机变量的均值》(含解析)

7．3　离散型随机变量的数字特征7．3.1　离散型随机变量的均值课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.新知探究某城市随机抽查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为1∶5∶4，能否说该市的户均住房面积为≈106.7(平方米)?问题　上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示　此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．1．离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．2．两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；3．离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．拓展深化[微判断]1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(×)提示　随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(×)提示　随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(√)[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝(　　)A.B.C．2D.解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案　A 2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．解析　X＝2，3.P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故E(X)＝2×＋3×＝.答案　[微思考]某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？提示　由于平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是kg、kg和kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值.题型一　利用定义求离散型随机变量的均值【例1】　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．解　取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝，故X的分布列如下：X5678P∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝(分)．规律方法　求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．【训练1】　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6.∴P(X＝－4)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＋××＋××＝，P(X＝6)＝××＝＝.∴X的分布列为X－4136 P∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝(分)．题型二　离散型随机变量均值的性质【例2】　已知随机变量X的分布列为：X－2－1012Pm若Y＝－2X，则E(Y)＝__________．解析　由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1,解得m＝，∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×＝.答案　【迁移1】　(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y)．解　由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.【迁移2】　(变条件，变设问)本例条件不变，若Y＝aX＋3,且E(Y)＝－，求a的值．解　∵E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， ∴a＝15.规律方法　离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．【训练2】　已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为(　　)X1234PmnA.B.C.D.解析　因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，即E(Y)＝12＋7＝34.所以2m＋3n＝，①又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②由①②可解得m＝.答案　A题型三　离散型随机变量均值的应用【例3】　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 .现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．解　记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝，故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，P(X＝100)＝P(F)＝×＝，P(X＝120)＝P(E)＝×＝，P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，故所求的分布列为X0100120220P均值为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140(万元)． 规律方法　解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．【训练3】　某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令X表示该公司的资助总额．(1)写出X的分布列；(2)求均值E(X)．解　(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.P(X＝0)＝，P(X＝5)＝，P(X＝10)＝，P(X＝15)＝，P(X＝20)＝，P(X＝25)＝，P(X＝30)＝.故X的分布列为X051015202530P(2)E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15(万元).一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养． 2．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．二、素养训练1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　)A．2B.C.D.解析　由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.答案　D2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)A．0B.C．1D．－1解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.答案　A 3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Pp－p则E(X)的最小值为(　　)A．1B.C.D．2解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(X)＝－p＋2×＝－p≥1.故选A.答案　A4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．解析　抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为X123456P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝＝.答案　5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值；(2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解　(1)X的分布列为X01234 PX的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，又E(X)＝，则a·＋4＝1，∴a＝－2.基础达标一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为X－101P则E(2X＋1)＝(　　)A.B.C.D.解析　∵E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.答案　C2．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为(　　)Xa79 Pb0.10.4A.4B．5C．6D．7解析　根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.答案　A3．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　)X0123P0.1Ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(X)＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.答案　C4．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　)A．0.2B．0.8C．1D．0解析　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.答案　B5．随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于(　　)A．10B．5C.D.解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②由①②，得a＝，b＝0.答案　D二、填空题6．已知某一随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，则a＝__________，b＝__________．解析　由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b·0.5＋8·a＝6，得b＝6.答案　0.3　67．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X1234P0.50.20.20.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝__________元．解析　由题意可知Y可以取100，150，200，分布列如下Y100150200P0.50.40.1∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．答案　1308．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数X的均值是__________．解析　试验次数X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为X123P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案　三、解答题9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池．解　(1)由题意知，X取值为1，2，3.P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝×＝.所以X的分布列为X123 P(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5(次)，即平均抽取1.5次可取到好电池．10．在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？解　设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.依题意，可得X的分布列为X0525100P所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100×＝0.2(元)，所以一张彩票的合理价格是0.2元．能力提升11．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：投资甲获利(万元)23－1概率0.40.30.3投资乙获利(万元)14－2概率0.60.20.2那么他应该选择经营________种商品．解析　投资甲项目获利的期望E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，投资乙项目获利的期望E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．答案　甲 12．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，求X的分布列及均值．解　根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.创新猜想13．(多选题)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X012P－pp则下列说法正确的是(　　)A．p∈B．E(X)最大值为C．p∈D．E(X)最大值为解析　由表可得从而得P∈，期望值E(X)＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝. 答案　AB14．(多空题)某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的均值E(X)＝8.9，则x的值为____________，y的值为__________．解析　由题意知解得y＝0.4，x＝0.2.答案　0.2　0.4