人教版高中数学选择性必修第三册学案：6.3.1《二项式定理》(含解析)

6．3　二项式定理6．3.1　二项式定理课标要求素养要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.新知探究　牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．问题　什么是二项式定理？提示　(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn即为二项式定理．二项式定理及其相关概念　　　　注意二项式系数与系数的概念二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理二项式系数C(k＝0，1，…，n)通项Tk＋1＝Can－kbk 二项式定理的特例　　(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn拓展深化[微判断]1．(a＋b)n的展开式中共有n项．(×)提示　(a＋b)n的展开式中共有n＋1项．2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(×)提示　交换a，b的顺序各项都发生变化.3.Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(×)提示　Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．4．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(√)[微训练]1.的展开式中含x3项的二项式系数为(　　)A．－10B．10C．－5D．5解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k＝(－1)kCx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3项的二项式系数为C＝5.答案　D2.展开式中的常数项为(　　)A．80B．－80C．40D．－40解析　展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k＝(－2)kCx10－5k，令10－5k＝0，得k＝2，∴常数项为(－2)2C＝40.答案　C 3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________．解析　S＝[(x－1)＋1]3＝x3.答案　x3[微思考]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示　二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？提示　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.题型一　二项式定理的正用、逆用【例1】　(1)求的展开式．(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.解　(1)法一　＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋.法二　＝＝(1＋3x)4＝·＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.【迁移】　(变条件，变设问)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝__________．解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.答案　44规律方法　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．【训练1】　化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.题型二　二项展开式通项的应用【例2】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求的展开式中x3的系数．解　(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2)6－k·＝26－kC·(－1)k·x3－，∴T6＝26－5C·(－1)5·x3－×5＝－12x－.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为－12. (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.【迁移1】　(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”．解　由通项Tk＋1＝(－1)k·C·26－k·x3－k，知第4项的二项式系数为C＝20，第4项的系数为(－1)3·C·23＝－160.【迁移2】　(变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？解　设展开式中第k＋1项为含x5的项，则Tk＋1＝(－1)k·C·x9－2k，令9－2k＝5，得k＝2，即展开式中的第3项含x5，且系数为(－1)2·C＝36.规律方法　　(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式 中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【训练2】　已知二项式.(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项．解　的展开式的通项是Tk＋1＝C(3)10－k＝C310－k·x(k＝0，1，2，…，10)．(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.(2)展开式的第4项的系数为C37＝－77760.(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77760.题型三　与展开式中的特定项有关的问题角度1　求展开式中的特定项【例3】　的展开式中，常数项是(　　)A．－B.C．－D.解析　展开式的通项Tk＋1＝C(x2)6－k＝Cx12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4.所以常数项为C＝. 答案　D角度2　由二项展开式某项的系数求参数问题【例4】　若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)A.B.C．1D．2解析　的展开式的通项是Tk＋1＝C·x10－k·＝C·x10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)、x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C.因为(x2－a)的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及－a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.答案　D规律方法　求展开式中特定项的方法求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．【训练3】　(1)若的展开式中x3的系数是－84，则a＝__________．(2)已知n为等差数列－4，－2，0，…的第六项，则的二项展开式的常数项是__________． 解析　(1)展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(－a)k＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数为C(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCx6－2k，令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为23C＝160.答案　(1)1　(2)160一、素养落地1．通过本节的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．注意区分项的二项式系数与系数的概念．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．3．求解特定项时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．二、素养训练　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　)A．1B．－1C．(－1)nD．3n解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.答案　C2．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　)A．33B．29C．23D．19解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29. 答案　B3．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(　　)A．－5B．5C．－10D．10解析　(1－x)5中x3的系数－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.答案　D4．二项式的展开式中，常数项是__________．解析　二项式的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)6－k·＝C·26－k·x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C·24＝240.答案　2405.的展开式中x7的系数为__________(用数字作答)．解析　二项展开式的通项Tk＋1＝C(x2)8－k＝(－1)kCx16－3k，令16－3k＝7，得k＝3，故x7的系数为－C＝－56.答案　－56基础达标一、选择题1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　)A．9B．10C．11D．8解析　∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.答案　C 2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　　)A．－210B．210C．－120iD．－210i解析　由通项得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210.答案　A3.展开式中的常数项为(　　)A．60B．－60C．250D．－250解析　展开式的通项为C()6－k＝(－2)kCx3－k.令3－k＝0，得k＝2.∴展开式中的常数项为(－2)2·C＝60.答案　A4.展开式中的第4项是(　　)A．56x3B．84x3C．56x4D．84x4解析　由通项公式有T4＝Cx6＝84x3.答案　B5．(2x＋)4的展开式中x3的系数是(　　)A．6B．12C．24D．48解析　(2x＋)4展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)4－k()k＝24－kCx4－.令4－＝3，解得k＝2， 故展开式中x3的系数是4·C＝24.答案　C二、填空题6．若(x＋a)10的展开式中x7的系数为15，则a＝________．解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.答案　7．若展开式中的常数项为－40，则a＝__________．解析　展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(2x)5－k·＝C25－kx5－2k.因为的展开式中的常数项为－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40，所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.答案　－38.(x＞0)的展开式中的常数项为__________．解析　(x＞0)可化为，因而Tk＋1＝C··＝(－2)kC·x6－k.令6－k＝0，得k＝6，故展开式中的常数项为·C＝59136.答案　59136三、解答题 9．若二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．解　∵Tk＋1＝Cx6－k＝(－a)kCx6－，令6－＝3，则k＝2，得A＝C·a2＝15a2；令6－＝0，则k＝4，得B＝C·a4＝15a4.由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.10．已知(＋)n(其中n