第七章随机变量及其分布[数学文化]——了解数学传统文化的发展与应用“大数定律”的发展史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布，拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布，1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法．这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜利耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初，主要探讨了使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的麟德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展，伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出被后人称之为“大数定律”的极限定理．伯努利[读图探新]——发现现象背后的知识1．在北京奥运男子50米步枪男子决赛中出现让世界人民震惊的一幕，大家知道在这场比赛中发生了什么事情吗？2．甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励．比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
3．某篮球运动员投篮命中率为0.8，他投篮3次，恰好命中2次的概率是多少？问题1：“埃蒙斯魔咒”是怎样产生的，从概率的角度如何去解释这一现象，投篮命中率的期望如何计算？问题2：用概率论的知识能否将100法郎公平分配？链接：随机变量概念的理解及其分布列、期望、方差的求解是本章内容的重点，随机变量意义的理解、全概率公式、期望、方差在实际中的应用是本章的难点问题．学习时要注意正确认识和理解随机现象，揭示其本质特点，认识分布列对于刻画随机现象的重要性；注意条件概率和全概率的概率公式，牢记有限制的离散型随机变量的均值与方差的计算公式，并能进行简单的应用，认识正态分布的特点及其意义.7.1 条件概率与全概率公式7．1.1 条件概率课标要求素养要求1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.通过学习及应用条件概率，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究
春节期间，妈妈带着达娜去她的一个朋友家做客，闲谈时正巧碰到她的女儿回家，这时女人介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢”，在回家的路上妈妈告诉达娜：“这家有两个孩子，只知道有一个是女孩，另一个不太清楚．”于是达娜在想，另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢？是50%的概率吗？你能帮助达娜分析一下吗？问题 上述情景中的概率问题是属于哪种类型的概率？达娜猜想的概率是否正确？提示 达娜猜想的概率不正确，这是一个条件概率问题，学习完本节课后我们就能准确地求解此概率类型．1．条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．2．概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式．3．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设和B互为对立事件，则P()＝1－P(B)．
拓展深化[微判断]1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×)提示 若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0.2．事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．(√)提示 事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝，事件A，B同时发生的概率为P(AB)，两者不一定相等．[微训练]1．设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )A.B.C.D.解析 P(B|A)＝＝＝.答案 A2．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝__________．解析 由题意知P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝.答案 [微思考]1．若P(A)≠0，则P(AB)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？提示 正确．由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．若任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．提示 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝＝.题型一 利用定义求条件概率【例1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，所以P(A)＝＝＝.(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.(3)法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝.规律方法 利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．【训练1】 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45解析 设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.答案 A题型二 缩小样本空间求条件概率【例2】 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝.【迁移1】 (变设问)在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解
在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝.【迁移2】 (变条件，变设问)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．解 甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.规律方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.训练2】 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为__________．解析 设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝.答案 题型三 条件概率的性质及应用【例3】 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．解 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．【训练3】 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝.
故所求概率为.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．条件概率：P(B|A)＝＝.3．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝.二、素养训练1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )A.B.C.D.解析 因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝.答案 C2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )A．0.665B．0.564C．0.245D．0.285
解析 记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.答案 A3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A.B.C.D.解析 P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.答案 B4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．解析 一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝.答案 5．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是__________．解析 设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.答案 0.5基础达标一、选择题1．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于( )A.B.C.D.解析 由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝＝＝.答案 D2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.B.C.D．1解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.答案 B3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( )A.B.
C.D.解析 由题意知事件A包含的基本事件是(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9个，在A发生的条件下，事件B包含的基本事件是{1，3}，{3，1}共2个，所以P(B|A)＝.答案 C4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )A.，B.，C.，D.，解析 P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.答案 C5．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )A.B.C.D.解析 由题意可知．n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.∴P(A|B)＝＝＝.
答案 C二、填空题6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X，则X≤6的概率为__________．解析 设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“X≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.答案 7．某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝__________．解析 由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.答案 8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为__________．解析 记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72.答案 0.72
三、解答题9．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，设袋中白球有x个，则P(A)＝1－＝，解得x＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝＝＝，P(B)＝＝＝.故P(C|B)＝＝＝.10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解 设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝＝.(2)法一 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B
发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.法二 P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(A|B)＝＝.能力提升11．将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )A.B.C.D.解析 因为P(A|B)＝，P(AB)＝＝＝，P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝，所以P(A|B)＝＝＝.答案 A12．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝A＝20，又n(A)＝A×A＝12，于是P(A)＝＝＝.(2)因为n(AB)＝A＝6，所以P(AB)＝＝＝.(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.创新猜想13．(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )A．P(B)＝B．P(B|A1)＝C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件解析 由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，故P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故A错误，D正确；P(B|A1)＝＝＝，故B正确；显然C不正确．故选BD.
答案 BD14．(多空题)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，两张中至少有一张假钞的概率是________；将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为________．解析 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，则A|B为“将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞时，2张都是假钞”．而P(AB)＝＝，P(B)＝＝，∴P(A|B)＝＝.答案
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