人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.4.2《超几何分布》(含解析)

7.4.2　超几何分布课标要求素养要求1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．问题　X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？提示　X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝2)＝，X的概率分布符合超几何分布，这就是这节课我们要重点研究的问题．1．超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n， M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．超几何分布的期望E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)．拓展深化[微判断]1．超几何分布的总体里只有两类物品．(√)2．超几何分布的模型是不放回抽样．(√)3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.(√)[微训练]1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)A.B.C.D.解析　取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为.答案　D2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为______．解析　由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为.答案　[微思考]超几何分布模型在形式上有怎样的特点？ 提示　在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等． 题型一　利用超几何分布的公式求概率【例1】　在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．解　设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝＝≈0.19.规律方法　超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.【训练1】　某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为(　　)A.B.C.D.解析　由题意可得所求概率为＋＝.答案　A题型二　超几何分布的分布列【例2】　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X123P规律方法　解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．【训练2】　从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列． 解　(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝.(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.∴X的分布列为X0123P题型三　超几何分布的综合应用【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3. P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．所以随机变量X的分布列是X0123P所以随机变量X的期望值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2)．规律方法　超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.【训练3】　一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的期望E(X)．解　∵从口袋中随机取出一个球是红球的概率是，∴＝，∴n＝5，∴5个球中有2个白球．白球的个数X可取0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴E(X)＝×0＋×1＋×2＝.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养．2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝求出X取不同k值时的概率．3．超几何分布模型是一种不放回抽样．二、素养训练1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为(　　)A.B.C．1－D.解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.答案　C2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析　X服从超几何分布，∴P(X＝4)＝.答案　C 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．解析　设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.答案　4．从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．解析　设所取出的3个球中红球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X＝1)＝＝.答案　5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．解　设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.P(X＝2)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝10)＝＝.故X的分布列为X2610P 基础达标一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)A.B.C．1－D.解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.答案　D2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)A.B.C.D.解析　记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.答案　C3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(　　)A.B.C．1－D．1－解析　　从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n ＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－.答案　D4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)A．P(0