6.2.4 组合数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究 某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？问题 上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？提示 由于5号和14号一组，所以其他两个人只能是1到4号或15到20号中的两个，故共有C＋C＝21(种)方法．1．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C表示．2．组合数公式组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构C＝＝＝(n，m∈N*，m≤n)．
规定C＝1.拓展深化[微判断]1．C＝5×4×3＝60.(×)提示 C＝＝10.2．C＝C＝2017.(√)3．“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”．(×)提示 “从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”．[微训练]1．若C＝10，则n的值为( )A．10B．5C．3D．4解析 C＝＝10，解得n＝5(n＝－4舍去)．答案 B2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )A．504种B．729种C．84种D．27种解析 共有选法C＝＝84(种)．答案 C3．计算C＋C＝__________．解析 C＋C＝1＋1＝2.答案 2
[微思考]1．下列两个等式成立吗？①C＝C；②C＝C＋C(其中n，m∈N*，m≤n)．提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式C＝常用于n为具体正整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式C＝常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.
题型一 组合数公式的应用【例1】 求值：(1)3C－2C；(2)C＋C.解 (1)3C－2C＝3×－2×＝148.(2)∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.规律方法 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明．(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.【训练1】 (1)计算：C＋C；(2)证明：C＝C.(1)解 C＋C＝C＋C＝＋200＝4950＋200＝5150.(2)证明 C＝·＝＝C.题型二 与几何有关的组合应用题
【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解 (1)法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．法二 可作三角形C－C＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．规律方法 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．【训练2】 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205B．110C．204D．200解析 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法个数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.答案 A题型三 分组、分配问题角度1 不同元素的分组分配问题【例3】 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．解 (1)每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.角度2 相同元素分配问题【例4】 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．解 (1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)放法．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．故共有C·(C＋C)＝30(种)放法．规律方法 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．【训练3】 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．(2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法．(3)法一 先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144(种)放法．法二 先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144(种)放法．(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C
·2＝8(种)放法．(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12(种)放法．(6)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286(种)放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1，2，3，4的盒子分别放入2，6，5，7个球.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养．2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．二、素养训练1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种B．84种C．35种D．21种解析 共有C·C＝1×＝35(种)选法．答案 C
2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5040B．36C．18D．20解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)．答案 D3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0，1，2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0，1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个B．36个C．100个D．225个解析 从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C·C＝15×15＝225.答案 D4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析 安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C种方法．故不同的安排方案共有CC＝×4＝140(种)．答案 1405．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种__________种(结果用数值表示)．解析 设餐厅还需准备x种不同的素菜．由题意，得C·C≥200，从而有C≥20，即x(x－1)≥40.又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7.答案 7
基础达标一、选择题1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为( )A．C·CB．CC＋CCC．C－CD．C－CC解析 至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有CC＋CC.答案 B2．计算：C＋C＋C＝( )A．120B．240C．60D．480解析 C＋C＋C＝＋＋＝120.答案 A3．方程C＝C的解集为( )A．{4}B．{14}C．{4，6}D．{14，2}解析 由题意知或解得x＝4或6.答案 C4．某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种
解析 从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C＝1(种)．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案 D5．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A．30B．21C．10D．15解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法．答案 D二、填空题6．计算：C＋C＝__________．解析 ∵∴≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴C＋C＝C＋C＝1＋6＝7.答案 77．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少1名，则不同的保送方案有__________种．解析 把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36(种)保送方案．答案 368．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________(用数字作答)．解析 当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
答案 336三、解答题9．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解 (1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点，故可以确定四面体C－12＝58(个)．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C＝48(个)．10．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)；第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)；第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种)．由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．能力提升11．某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有__________种不同的选修方案．解析 分两类：第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有C种选法；第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1门，有C×C种选法．所以不同的选修方案共有C＋C·C＝75(种)．答案 7512．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解 (1)易知四位数共有CCA＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．创新猜想13．(多选题)若C＝C，则n等于( )A．3B．5C．7D．15解析 由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选AB.答案 AB14．(多空题)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人．(1)有________种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．解析 (1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有·A＝90(种)方法；当5名学生分成3，1，1时，共有·A＝60(种)方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法．(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．答案 (1)150 (2)100
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