人教版高中数学选择性必修第三册学案：7.1.2《全概率公式》(含解析)

7.1.2　全概率公式课标要求素养要求1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.通过学习及运用全概率公式，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究　狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读．设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5,经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他．于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！问题　上述问题可以用哪种概率公式来解释？提示　我们可以借助全概率公式来解读．1．全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai＝i＝1，2，…，n.3．在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为先验概率和后验概率．拓展深化[微判断]1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．(√)2．所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(√)3．全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率．(√)[微训练]1．一个盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率为________．解析　设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝0.6.答案　0.62．有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________．解析　设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”(i＝1，2)，则P(B1)＝ P(B2)＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝.答案　[微思考]全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？提示　两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.题型一　全概率公式【例1】　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．解　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3，则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)＝P(H1)P(2)P(3)＋P(1)P(H2)P(3)＋P(1)P(2)P(H3)＝0.36， P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(3)＋P(H1)P(2)P(H3)＋P(1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，即飞机被击落的概率为0.458.规律方法　全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．【训练1】　有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的，其中甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品中正品率为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率多大？　　解　设A，B，C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D表示抽得产品为正品，则由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%，P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%，从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝×＋×＋×＝0.915.题型二　贝叶斯公式【例2】 　在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的．若已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．解　设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收的信号为0”，则＝“发送的信号为1”，＝“接收的信号为1”．由题意得，P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(|A)＝0.2，P(B|)＝0.1，P(|)＝0.9.由贝叶斯公式有P(|B)＝＝＝.规律方法　此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．【训练2】　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．解　设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P(A1)＝＝＝0.8.题型三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解　设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，(1)由全概率公式得：P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝≈0.2209，P(B2|A)＝＝≈0.3140，P(B3|A)＝＝≈0.4651，由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．规律方法　P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．【训练3】　一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和非机动车迟到的概率分别为，，.(1)求这位教授迟到的概率；(2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率．解　设A＝“迟到”；B1＝“乘飞机”；B2＝“乘动车”；B3＝“乘非机动车”．(1)所求概率为P(A)，由全概率公式得：P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3) ＝×＋×＋×＝.(2)所求概率为P(B1|A)，由贝叶斯公式得：P(B1|A)＝＝＝＝.一、素养落地1．通过本节课的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养．2．全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．3．概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和贝叶斯公式正好起到了这样的作用．二、素养训练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为(　　)A.B.C.D.解析　设A表示“第一个人取得黄球”，B表示“第二个人取得黄球”，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.答案　D 2．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为(　　)A．0.01245B．0.05786C．0.02625D．0.02865解析　设A表示“此人恰是色盲”，B1表示“随机挑选一人为男人”，B2表示“随机挑选一人为女人”，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×0.05＋×0.0025＝0.02625.答案　C3．设某公路经过的货车与客车的数量之比为1∶3，货车中途停车修车的概率为0.03，客车为0.02，今有一辆汽车中途停车修理，则该车是客车的概率是(　　)A.B.C.D.解析　设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是客车}，A2＝{经过的是货车}，则B＝A1B∪A2B.由贝叶斯公式有P(A1|B)＝＝＝.答案　B基础达标一、选择题1．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为(　　) A.B.C.D.解析　从两袋中任选一袋，选中甲、乙的概率都是，又从甲袋中取到白球的概率是，从乙袋中取到白球的概率为，故所求概率为＝.答案　B2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为(　　)A．0.0125B．0.362C．0.468D．0.0345解析　所求概率为≈0.362.答案　B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　　)A．0.0123B．0.0234C．0.0345D．0.0456解析　所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.答案　C4．已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为(　　)A.B.C.D. 解析　所求概率为＝.答案　D5．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为(　　)A.B.C.D.解析　第一次取每个数字的概率都是.如果第一次取得的是1，那么再从四张当中取的话，都比1大，所以概率就是×1＝，如果第一次取的是2，那么再去从四张当中去取得到的比2大的概率就是，所以概率为×＝，以此类推所得概率分别是×＝，×＝.故所求概率为＋＋＋＝.答案　B二、填空题6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为__________．解析　由题意知第一台机床加工的零件占总数的，第二台机床加工的零件占总数的，故所求概率为1－＝.答案　 7．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A)＝0.95，P()＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B)＝______(保留两位有效数字)．解析　P(A|)＝1－P(|)＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，则P(B|A)＝＝＝≈0.087.答案　0.0878．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为__________．解析　设事件A表示“从箱中任取2件都是一等品”，Bi表示“丢失的是i等品”，i＝1，2，3，那么P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)，P(Bi)表示的就是丢失i等品的概率．所以P(A)＝×＋×＋×＝，从而所求概率为P(B1|A)＝＝＝.答案　三、解答题9．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率．解　设A表示“甲抓到有物之阄”，B表示“乙抓到白阄”，则P(A)＝，P()＝ ，从而P(B)＝P(BA)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.10．设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．解　设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.能力提升11．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为(　　)A.B.C.D.解析　我们设A事件为“不知道答案”，B事件为“猜对此题”．则P(A)＝，P(B|A )＝，P(B|)＝1.所以所求概率为P(A|B)＝＝＝＝.答案　B12．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并往盒中加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解　设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，由题意P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(BP()P(B＝＋＝.创新猜想13．(多空题)甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，(1)若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球的概率是______；(2)从乙箱中取出白球的概率是______．解析　设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，则P(A)＝，P()＝.(1)所求概率为P(B|A)＝.(2)易知P(B|)＝，故利用全概率公式，得所求概率为 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.答案　(1)　(2)