人教版高中数学选择性必修第三册学案：第7章《随机变量及其分布》章末检测卷(含解析)

章末检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是(  )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标．答案 C2．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为(  )A.B.C.D.解析 法一 记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.法二 记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．由题意可得事件AB发生所包含的样本点数n(AB)＝3×2＝6，事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×3＝9， 所以P(B|A)＝＝＝.答案 B3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(i＝1，2，3)，则a的值为(  )A．1B.C.D.解析 因为P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以＋＋＝1，所以a＝.答案 D4．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(  )X4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.答案 C5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(  )A．10B．100C.D.解析 由正态分布密度曲线上的最高点为知＝，即σ＝，∴D(X)＝ σ2＝.答案 C6．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝(  )A．2B．3C．6D．7解析 由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，所以p＝，则Y～B，故D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6.答案 C7．如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的数学期望是(  )A．0B．1C．2D．3解析 正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义就是期望，而区间(－3，－1)和(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布总体的数学期望是1.答案 B 8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(  )A.B.C.D.解析 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，则X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C××＝.答案 C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012Pa4a5a下列选项中正确的是(  )A．a的值为0.1B．E(X)＝0.44C．E(X)＝1.4D．D(X)＝1.4解析 由离散型随机变量的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.答案 AC10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝4，Y＝2X＋3，D(Y)＝3.2，则下列结论正确的是(  )A．n＝4B．n＝5 C．p＝0.8D．P(X＝2)＝解析 由已知np＝4，4np(1－p)＝3.2，∴n＝5，p＝0.8，∴P(X＝2)＝Cp2(1－p)3＝.答案 BCD11．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1000元．小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为X(元)，则下列说法正确的是(  )A．X的可能取值为2450，1450，450，－550B．P(X＝2450)＝C．P(X＝－550)＝D．E(X)＝1850解析 根据题意知，X的可能取值为2450，1450，450，－550，且P(X＝2450)＝＝，P(X＝1450)＝C＝，P(X＝450)＝C＝，P(X＝－550)＝C＝，∴E(X)＝2450×＋1450×＋450×＋(－550)×＝1850.答案 ACD12．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是(  ) A．P(A)＝B．P(B)＝C．P(AB)＝D．P(B|A)＝解析 由题意，得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B)＝1－＝，由条件概率公式可得P(B|A)＝＝.故选ACD.答案 ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝__________．解析 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝.答案 14．设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，则当p＝__________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．(本题第一空3分，第二空2分)解析 成功次数X～B(100，p)，所以D(X)＝100p(1－p)≤100×＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的方差最大，其最大值为25.答案  2515．已知随机变量X的分布列如下表： Xa234Pb若E(X)＝2，则D(X)＝________．解析 由分布列得＋b＋＋＝1，解得b＝，则E(X)＝a＋2×＋3×＋4×＝2，解得a＝0，则D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.答案 16．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利__________元．解析 设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20，30，50.依题意，X的分布列为X－203050P0.10.30.6故E(X)＝－20×0.1＋0.3×30＋50×0.6＝37(元)．答案 37四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？解 设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝P(Bi)[1－P(|Bi)] ＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98＝0.9685.18．(本小题满分12分)摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能的奖金数及相应的概率．解 设此次摇奖的奖金数为X元，当摇出的3个小球均标有数字2时，X＝6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X＝9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12.所以所有奖金数有6，9，12.所以P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.19．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．解 (1)X的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列为X012P(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝＝.∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.20．(本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，若每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.21．(本小题满分12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．①求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．解 (1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是－＝.(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10(种)，其中满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝＝.②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为X5101520253035 P故E(X)＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＋35×＝20(元)．22．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)＝C＋C＝.(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝＝，P(X＝2)＝C＝＝，P(X＝3)＝C＝， 因此X的分布列为X0123P所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.