第二课时 非线性回归模型及其应用
课标要求素养要求1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.
新知探究在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．
提示不一定；越小越好．
1．残差的概念
2．刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时________为残差，________可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(2)残差平方和法纵坐标横坐标
(3)利用R2刻画回归效果决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．
×√拓展深化[微判断]1．残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好．()2．在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．()提示在画两个变量的散点图时，响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．3．R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．()提示R2越大，线性回归模型的拟合效果越好．×
[微训练]1．在残差分析中，残差图的纵坐标为__________．答案残差2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？解R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．
[微思考]在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？提示(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.
题型一 线性回归分析【例1】已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753
列出残差表：00.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4
规律方法(1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．(2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
【训练1】某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
解（1）由所给数据计算得
题型二 残差分析与相关指数的应用【例2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．
解(1)散点图如下．
【训练2】为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求回归直线方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析．
解(1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．
题型三 非线性回归分析【例3】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
规律方法求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
【训练3】下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325
解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784
残差yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675
一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．
二、素养训练1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.答案D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
解析残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.答案ABD
3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：x16171819y50344131
答案C
4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：温度x010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回归直线的斜率是__________．
答案0.8809
5．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，t4210.50.25y1612521
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125
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