7．3离散型随机变量的数字特征7．3.1离散型随机变量的均值
课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究
问题 上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．
1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn
2．两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为________________＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝________________．pP(X＝xi)aE(X)＋b
×√拓展深化[微判断]1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()提示随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．2．随机变量的均值与样本的平均值相同．()提示随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.()×
[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．
[微思考]某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
故X的分布列如下：规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
∴X的分布列为
题型二 离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为：
解析由随机变量分布列的性质，得
【迁移1】(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y)．∴a＝15.
规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．
【训练2】已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为()
解析因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，答案A
题型三 离散型随机变量均值的应用
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.
故所求的分布列为规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．
解(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.
一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值．3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．
二、素养训练1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于()解析由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为()
3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为答案A
4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．解析抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值；(2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列为
(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，
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