7.4.2超几何分布
课标要求素养要求1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．
问题X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？
1．超几何分布超几何分布模型是一种不放回抽样一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．超几何分布的期望
拓展深化[微判断]1．超几何分布的总体里只有两类物品．()2．超几何分布的模型是不放回抽样．()3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.()√√√
[微训练]1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()
2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为______．
[微思考]超几何分布模型在形式上有怎样的特点？提示在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．
题型一 利用超几何分布的公式求概率【例1】在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)规律方法超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.
【训练1】某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为()
题型二 超几何分布的分布列【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.
规律方法解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
【训练2】从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列．
∴X的分布列为
题型三 超几何分布的综合应用【例3】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
所以随机变量X的分布列是
二、素养训练1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为()答案C
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．解析设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
4．从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．解设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.
故X的分布列为
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